地面に垂直に立つ木PQがあり、地面の点A, Bにおいて、$\angle PAQ = 30^\circ$, $\angle QAB = 45^\circ$, $\angle QBA = 60^\circ$, $BQ = 20m$である。このとき、木PQの高さを求める。

1. 問題の内容

地面に垂直に立つ木PQがあり、地面の点A, Bにおいて、$\angle PAQ = 30^\circ$, $\angle QAB = 45^\circ$, $\angle QBA = 60^\circ$, $BQ = 20m$である。このとき、木PQの高さを求める。

2. 解き方の手順

まず、$\triangle QAB$において、$\angle AQB = 180^\circ - (45^\circ + 60^\circ) = 75^\circ$である。正弦定理より、

$\frac{AQ}{\sin 60^\circ} = \frac{BQ}{\sin 45^\circ}$

$AQ = \frac{BQ \sin 60^\circ}{\sin 45^\circ} = \frac{20 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{20\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = 10\sqrt{6}$

次に、$\triangle PAQ$において、$\angle PAQ = 30^\circ$, $\angle PQA = 90^\circ$なので、

$\tan 30^\circ = \frac{PQ}{AQ}$

$PQ = AQ \tan 30^\circ = 10\sqrt{6} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = 10\sqrt{2}$

3. 最終的な答え

木PQの高さは、$10\sqrt{2}$m。