$a$を実数とし、$\theta$に関する方程式 $2\cos 2\theta + 2\cos \theta + a = 0$ について考える。 (1) $t = \cos \theta$ として、この方程式を $t$ と $a$ を用いて表す。 (2) この方程式の $0 \le \theta < 2\pi$ の範囲での解 $\theta$ の個数を調べる。

1. 問題の内容

$a$を実数とし、$\theta$に関する方程式 $2\cos 2\theta + 2\cos \theta + a = 0$ について考える。

(1) $t = \cos \theta$ として、この方程式を $t$ と $a$ を用いて表す。

(2) この方程式の $0 \le \theta < 2\pi$ の範囲での解 $\theta$ の個数を調べる。

2. 解き方の手順

(1)

$\cos 2\theta$ を $\cos \theta$ で表す必要がある。$\cos 2\theta = 2\cos^2 \theta - 1$ の公式を使う。

$t = \cos \theta$ なので、$\cos 2\theta = 2t^2 - 1$ となる。

与えられた方程式に代入すると、

$2(2t^2 - 1) + 2t + a = 0$

$4t^2 - 2 + 2t + a = 0$

$4t^2 + 2t + a - 2 = 0$

これが、$t$と$a$で表された方程式である。

(2)

(1)で求めた方程式を$t$について解く。

$4t^2 + 2t + (a-2) = 0$

解の公式より、

$t = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4(4)(a-2)}}{2(4)} = \frac{-2 \pm \sqrt{4 - 16a + 32}}{8} = \frac{-2 \pm \sqrt{36 - 16a}}{8} = \frac{-1 \pm \sqrt{9-4a}}{4}$

$t = \cos \theta$ であり、$0 \le \theta < 2\pi$ であるから、$-1 \le t \le 1$ である。

$t = \frac{-1 + \sqrt{9-4a}}{4}$ と $t = \frac{-1 - \sqrt{9-4a}}{4}$ がそれぞれ $-1 \le t \le 1$ を満たすかどうか調べる。

$t = \frac{-1 + \sqrt{9-4a}}{4}$ の場合:

$-1 \le \frac{-1 + \sqrt{9-4a}}{4} \le 1$

$-4 \le -1 + \sqrt{9-4a} \le 4$

$-3 \le \sqrt{9-4a} \le 5$

$0 \le 9-4a \le 25$

$-9 \le -4a \le 16$

$-\frac{16}{4} \le a \le \frac{9}{4}$

$-4 \le a \le \frac{9}{4}$

$t = \frac{-1 - \sqrt{9-4a}}{4}$ の場合:

$-1 \le \frac{-1 - \sqrt{9-4a}}{4} \le 1$

$-4 \le -1 - \sqrt{9-4a} \le 4$

$-3 \le - \sqrt{9-4a} \le 5$

$-5 \le \sqrt{9-4a} \le 3$

$0 \le 9-4a \le 9$

$-9 \le -4a \le 0$

$0 \le a \le \frac{9}{4}$

$9-4a \ge 0$ より、$a \le \frac{9}{4}$ が必要。

(i) $a > \frac{9}{4}$ のとき、$\sqrt{9-4a}$ は虚数となり、解は0個。

(ii) $a = \frac{9}{4}$ のとき、$t = -\frac{1}{4}$ となる。$\cos \theta = -\frac{1}{4}$ となる $\theta$ は、0≦θ＜2πの範囲に２つ存在する。したがって、解は2個。

(iii) $-4 < a < \frac{9}{4}$ のとき、$\frac{-1 - \sqrt{9-4a}}{4} < -1$ または $\frac{-1 + \sqrt{9-4a}}{4} > 1$ が起こりえる。

$\frac{-1 + \sqrt{9-4a}}{4} = 1$ を満たすとき、$a = -4$。

$\frac{-1 - \sqrt{9-4a}}{4} = -1$ を満たすとき、$a = 0$。

aの範囲で場合分け：

- a < -4 のとき、解なし：0個

- a = -4 のとき、t = 1 なので θ = 0 だけ：1個

- -4 < a < 0 のとき、一つのtは -1 < t < 1, もう一つのtは t > 1：2個

- a = 0 のとき、t = -1, 1/2 なので、3個

- 0 < a < 9/4 のとき、-1 < t < 1 を満たすtが２つある。それぞれからθは２つずつ出るので：4個

- a = 9/4 のとき、一つのtは-1/4。なので：2個

- a > 9/4 のとき、解なし：0個

3. 最終的な答え

(1) $4t^2 + 2t + a - 2 = 0$

(2)

- $a < -4$のとき、0個

- $a = -4$のとき、1個

- $-4 < a < 0$のとき、2個

- $a = 0$のとき、3個

- $0 < a < \frac{9}{4}$のとき、4個

- $a = \frac{9}{4}$のとき、2個

- $a > \frac{9}{4}$のとき、0個