与えられた数式の値を計算します。数式は $\frac{\sqrt{7} - \sqrt{3}}{\sqrt{7} + \sqrt{3}} + \frac{\sqrt{7} + \sqrt{3}}{\sqrt{7} - \sqrt{3}}$ です。

1. 問題の内容

与えられた数式の値を計算します。数式は

$\frac{\sqrt{7} - \sqrt{3}}{\sqrt{7} + \sqrt{3}} + \frac{\sqrt{7} + \sqrt{3}}{\sqrt{7} - \sqrt{3}}$

です。

2. 解き方の手順

まず、それぞれの分数を有理化します。

$\frac{\sqrt{7} - \sqrt{3}}{\sqrt{7} + \sqrt{3}}$ の分母を有理化するために、分子と分母に $\sqrt{7} - \sqrt{3}$ を掛けます。

$\frac{\sqrt{7} + \sqrt{3}}{\sqrt{7} - \sqrt{3}}$ の分母を有理化するために、分子と分母に $\sqrt{7} + \sqrt{3}$ を掛けます。

$\frac{\sqrt{7} - \sqrt{3}}{\sqrt{7} + \sqrt{3}} = \frac{(\sqrt{7} - \sqrt{3})(\sqrt{7} - \sqrt{3})}{(\sqrt{7} + \sqrt{3})(\sqrt{7} - \sqrt{3})} = \frac{(\sqrt{7} - \sqrt{3})^2}{7 - 3} = \frac{7 - 2\sqrt{21} + 3}{4} = \frac{10 - 2\sqrt{21}}{4} = \frac{5 - \sqrt{21}}{2}$

$\frac{\sqrt{7} + \sqrt{3}}{\sqrt{7} - \sqrt{3}} = \frac{(\sqrt{7} + \sqrt{3})(\sqrt{7} + \sqrt{3})}{(\sqrt{7} - \sqrt{3})(\sqrt{7} + \sqrt{3})} = \frac{(\sqrt{7} + \sqrt{3})^2}{7 - 3} = \frac{7 + 2\sqrt{21} + 3}{4} = \frac{10 + 2\sqrt{21}}{4} = \frac{5 + \sqrt{21}}{2}$

したがって、

$\frac{\sqrt{7} - \sqrt{3}}{\sqrt{7} + \sqrt{3}} + \frac{\sqrt{7} + \sqrt{3}}{\sqrt{7} - \sqrt{3}} = \frac{5 - \sqrt{21}}{2} + \frac{5 + \sqrt{21}}{2} = \frac{5 - \sqrt{21} + 5 + \sqrt{21}}{2} = \frac{10}{2} = 5$

3. 最終的な答え

5