1から7までの数字が書かれたカードがそれぞれ1枚ずつ、合計7枚あります。この7枚のカードから同時に2枚を取り出し、数字の大きい順に左から右に並べて2桁の整数を作ります。このようにしてできた整数が奇数となる確率を求めます。

1. 問題の内容

1から7までの数字が書かれたカードがそれぞれ1枚ずつ、合計7枚あります。この7枚のカードから同時に2枚を取り出し、数字の大きい順に左から右に並べて2桁の整数を作ります。このようにしてできた整数が奇数となる確率を求めます。

2. 解き方の手順

まず、2枚のカードを取り出して2桁の整数を作る場合の総数を求めます。次に、2桁の整数が奇数になる場合の数を求めます。最後に、奇数になる確率を計算します。

* 2枚のカードの取り出し方の総数:

7枚のカードから2枚を選ぶ組み合わせなので、総数は $_7C_2$ で計算できます。

$_7C_2 = \frac{7!}{2!(7-2)!} = \frac{7!}{2!5!} = \frac{7 \times 6}{2 \times 1} = 21$

* 2桁の整数が奇数になる条件:

2桁の整数が奇数になるのは、一の位が奇数である場合です。つまり、2枚のカードのうち少なくとも1枚が奇数でなければなりません。一の位を奇数にするには、小さい方の数字が奇数である必要があります。

7枚のカードのうち奇数は1, 3, 5, 7の4枚、偶数は2, 4, 6の3枚です。

* 奇数と偶数を選ぶ場合：大きい方の数字を十の位に、小さい方の数字を一の位に置きます。このとき、一の位が奇数になるので、奇数と偶数の組み合わせの数は $4 \times 3 = 12$です。

* 奇数と奇数を選ぶ場合：大きい方の数字を十の位に、小さい方の数字を一の位に置きます。奇数4枚から2枚を選ぶ組み合わせの数は $_4C_2 = \frac{4!}{2!2!} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$です。

したがって、奇数になる場合は、奇数と偶数の組み合わせの12通りと、奇数と奇数の組み合わせの6通りを合わせて、12 + 6 = 18通りです。

* 奇数となる確率:

奇数になる確率は、奇数になる場合の数を全体の数で割ったものです。

確率は $\frac{18}{21} = \frac{6}{7}$ です。しかし、問題文をよく読むと、数字の大きい順に左から右に並べるとあるので、奇数と偶数を選んだ場合、必ず奇数が一の位に来ます。奇数と奇数を選んだ場合も同様です。

したがって、奇数となる場合は、以下の手順で考えます。

1. 2つの数字の組み合わせの総数は $_7C_2 = 21$通りです。

2. 2桁の整数が奇数となるのは、一の位の数が奇数の場合です。

3. 1, 3, 5, 7 の奇数のカードから1枚と、2, 4, 6 の偶数のカードまたは残りの奇数のカードから1枚選ぶ必要があります。

4. 2枚とも奇数になる組み合わせは $_4C_2 = 6$通りです。この場合は必ず奇数になります。

5. 奇数1枚と偶数1枚を選ぶ組み合わせは、$4 \times 3 = 12$通りです。この場合も必ず奇数になります。

6. したがって、奇数になる組み合わせは $6 + 12 = 18$通りです。

7. 奇数となる確率は $\frac{18}{21} = \frac{6}{7}$ です。

ただし、選択肢の中に $\frac{6}{7}$ が無いため、別のアプローチで考えます。

一の位が奇数となるのは、選んだ2枚のカードのうち小さい方の数字が奇数である場合です。

選んだ2枚のうち少なくとも1枚が奇数であれば良いので、全体から2枚とも偶数の場合を引きます。

2枚とも偶数の組み合わせは $_3C_2 = 3$通りです。

奇数となる組み合わせは $21 - 3 = 18$通りです。

確率は $\frac{18}{21} = \frac{6}{7}$ で、これも選択肢にありません。

改めて考えると、作られる2桁の整数は必ず数字の大きい順に並べるので、一の位に来る数字は常に小さい方の数字です。つまり、小さい数字が奇数であれば、その2桁の整数は奇数になります。

したがって、全事象の21通りに対して、小さい方の数字が奇数である場合の数を数えれば良いです。

奇数は1, 3, 5, 7の4枚です。

小さい方の数字が1の場合：もう1枚は2, 3, 4, 5, 6, 7のどれでも良いので6通り

小さい方の数字が3の場合：もう1枚は4, 5, 6, 7のどれでも良いので4通り

小さい方の数字が5の場合：もう1枚は6, 7のどちらかので2通り

小さい方の数字が7の場合：もう1枚を選ぶことはできないので0通り

合計は $6 + 4 + 2 = 12$通り

確率は $\frac{12}{21} = \frac{4}{7}$

3. 最終的な答え

4/7