関数 $g(x) = |x|(e^x - 1)$ について、以下の2つの問いに答えます。 (1) $g(x)$ が $C^1$ 級関数であることを示します。 (2) $g(x)$ が $C^2$ 級関数でないことを示します。

1. 問題の内容

関数 $g(x) = |x|(e^x - 1)$ について、以下の2つの問いに答えます。

(1) $g(x)$ が $C^1$ 級関数であることを示します。

(2) $g(x)$ が $C^2$ 級関数でないことを示します。

2. 解き方の手順

(1) $g(x)$ が $C^1$ 級関数であることの証明

$g(x)$ を場合分けして表します。

$g(x) = \begin{cases}

x(e^x - 1) & (x \geq 0) \\

-x(e^x - 1) & (x < 0)

\end{cases}$

次に、$g(x)$ の導関数 $g'(x)$ を求めます。

$g'(x) = \begin{cases}

(e^x - 1) + xe^x = (x+1)e^x - 1 & (x > 0) \\

-(e^x - 1) - xe^x = -(x+1)e^x + 1 & (x < 0)

\end{cases}$

$x=0$ における右側極限と左側極限を調べます。

$\lim_{x \to +0} g'(x) = (0+1)e^0 - 1 = 1 - 1 = 0$

$\lim_{x \to -0} g'(x) = -(0+1)e^0 + 1 = -1 + 1 = 0$

よって、$x=0$ で $g'(x)$ は連続であり、$g'(0) = 0$ と定義できます。

$g'(x) = \begin{cases}

(x+1)e^x - 1 & (x \geq 0) \\

-(x+1)e^x + 1 & (x < 0)

\end{cases}$

$g'(x)$ は各区間で微分可能であり、 $g'(x)$ 自身も連続なので、$g(x)$ は $C^1$ 級関数です。

(2) $g(x)$ が $C^2$ 級関数でないことの証明

$g'(x)$ の導関数 $g''(x)$ を求めます。

$g''(x) = \begin{cases}

e^x + (x+1)e^x = (x+2)e^x & (x > 0) \\

-e^x - (x+1)e^x = -(x+2)e^x & (x < 0)

\end{cases}$

$x=0$ における右側極限と左側極限を調べます。

$\lim_{x \to +0} g''(x) = (0+2)e^0 = 2$

$\lim_{x \to -0} g''(x) = -(0+2)e^0 = -2$

$x=0$ において、$g''(x)$ の右側極限と左側極限が異なるので、$g''(x)$ は $x=0$ で連続ではありません。

したがって、$g(x)$ は $C^2$ 級関数ではありません。

3. 最終的な答え

(1) $g(x)$ は $C^1$ 級関数である。

(2) $g(x)$ は $C^2$ 級関数ではない。