直方体ABCD-EFGHにおいて、$AE = \sqrt{10}$、$AF = 8$、$AH = 10$である。 (1) $\triangle AFH$の面積を求めよ。 (2) 点Eから$\triangle AFH$に下ろした垂線EPの長さを求めよ。

1. 問題の内容

直方体ABCD-EFGHにおいて、$AE = \sqrt{10}$、$AF = 8$、$AH = 10$である。

(1) $\triangle AFH$の面積を求めよ。

(2) 点Eから$\triangle AFH$に下ろした垂線EPの長さを求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $\triangle AFH$の面積を求める。

$\triangle AFH$の3辺の長さが与えられているので、ヘロンの公式を用いる。

まず、$s = \frac{AF + FH + AH}{2}$を計算する。

次に、$\triangle AFH$の面積$S$を$S = \sqrt{s(s-AF)(s-FH)(s-AH)}$で計算する。

$FH$の長さを求める必要がある。$\triangle AEH$と$\triangle ABF$は直角三角形なので、ピタゴラスの定理から、

$AE^2 + EH^2 = AH^2$より、$EH^2 = AH^2 - AE^2 = 10^2 - (\sqrt{10})^2 = 100 - 10 = 90$。

$EH = \sqrt{90} = 3\sqrt{10}$。

$AB^2 + BF^2 = AF^2$より、$BF^2 = AF^2 - AB^2 = 8^2 - AE^2 = 64 - 10 = 54$。

$BF = \sqrt{54} = 3\sqrt{6}$。

$FH = \sqrt{FG^2 + GH^2} = \sqrt{BF^2 + EH^2} = \sqrt{54 + 90} = \sqrt{144} = 12$。

$s = \frac{8 + 12 + 10}{2} = \frac{30}{2} = 15$。

$S = \sqrt{15(15-8)(15-12)(15-10)} = \sqrt{15 \cdot 7 \cdot 3 \cdot 5} = \sqrt{3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 3 \cdot 5} = 3 \cdot 5 \sqrt{7} = 15\sqrt{7}$。

(2) 点Eから$\triangle AFH$に下ろした垂線EPの長さを求める。

四面体EAFHの体積を$V$とおくと、$V = \frac{1}{3} \times \triangle AFH \times EP$。

また、四面体EAFHの体積は、直方体ABCD-EFGHから他の四面体の体積を引いて求めることもできる。

しかし、ここでは$V = \frac{1}{6} |(\vec{EA} \times \vec{EF}) \cdot \vec{EH}|$を求める。

座標を設定して計算すると、少し複雑になる。

別の方法として、

$\triangle AEF$, $\triangle AEH$, $\triangle EFH$の面積を計算して、四面体の体積を計算する。

$AE = \sqrt{10}, AF = 8$より、$\triangle AEF = \frac{1}{2} AE \cdot AF \sin \angle EAF = \frac{1}{2} \sqrt{10} \cdot 8 = 4\sqrt{10}$。

$AE = \sqrt{10}, AH = 10$より、$\triangle AEH = \frac{1}{2} AE \cdot AH \sin \angle EAH = \frac{1}{2} \sqrt{10} \cdot 10 = 5\sqrt{10}$。

$EF = \sqrt{AB^2} = \sqrt{54} = 3\sqrt{6}$、$EH = 3\sqrt{10}$、$FH=12$より、$\triangle EFH$の面積をヘロンの公式で求める。

$s = \frac{3\sqrt{6} + 3\sqrt{10} + 12}{2}$となるので、計算が複雑になる。

四面体E-AFHの体積は、三角錐A-EFHから計算する。

$V = \frac{1}{6} AE \cdot BF \cdot EH = \frac{1}{6} \sqrt{10} \cdot 3\sqrt{6} \cdot 3\sqrt{10} = \frac{1}{6} \cdot 90 \sqrt{6} = 15\sqrt{6}$

$\frac{1}{3} S \cdot EP = 15\sqrt{6}$

$EP = \frac{3 \cdot 15\sqrt{6}}{15\sqrt{7}} = \frac{3\sqrt{6}}{\sqrt{7}} = \frac{3\sqrt{42}}{7}$

3. 最終的な答え

$\triangle AFH = 15\sqrt{7}$

$EP = \frac{3\sqrt{42}}{7}$