与えられた４つの式を因数分解する問題です。 (1) $x^2 + 3xy + 2y^2 + 2x + 5y - 3$ (2) $(x-1)(x-3)(x-5)(x-7) + 15$ (3) $x^4 - 8x^2 - 9$ (4) $x^4 + 4$

はい、承知いたしました。

次の４つの問題を因数分解します。

1. 問題の内容

与えられた４つの式を因数分解する問題です。

(1) $x^2 + 3xy + 2y^2 + 2x + 5y - 3$

(2) $(x-1)(x-3)(x-5)(x-7) + 15$

(3) $x^4 - 8x^2 - 9$

(4) $x^4 + 4$

2. 解き方の手順

(1) $x^2 + 3xy + 2y^2 + 2x + 5y - 3$ の因数分解

まず、$x$ について整理します。

$x^2 + (3y+2)x + (2y^2 + 5y - 3)$

次に、$2y^2 + 5y - 3$ を因数分解します。

$2y^2 + 5y - 3 = (2y-1)(y+3)$

したがって、

$x^2 + (3y+2)x + (2y-1)(y+3)$

これを因数分解すると、

$\{x + (2y-1)\}\{x + (y+3)\} = (x + 2y - 1)(x + y + 3)$

(2) $(x-1)(x-3)(x-5)(x-7) + 15$ の因数分解

$(x-1)(x-7)(x-3)(x-5) + 15$

$(x^2 - 8x + 7)(x^2 - 8x + 15) + 15$

ここで、$A = x^2 - 8x$ とおくと、

$(A + 7)(A + 15) + 15 = A^2 + 22A + 105 + 15$

$= A^2 + 22A + 120$

$= (A + 10)(A + 12)$

$A$ を元に戻すと、

$(x^2 - 8x + 10)(x^2 - 8x + 12)$

$(x^2 - 8x + 10)(x-2)(x-6)$

(3) $x^4 - 8x^2 - 9$ の因数分解

$A = x^2$ とおくと、

$A^2 - 8A - 9 = (A - 9)(A + 1)$

$A$ を元に戻すと、

$(x^2 - 9)(x^2 + 1) = (x-3)(x+3)(x^2+1)$

(4) $x^4 + 4$ の因数分解

$x^4 + 4 = x^4 + 4x^2 + 4 - 4x^2$

$= (x^2 + 2)^2 - (2x)^2$

$= (x^2 + 2 - 2x)(x^2 + 2 + 2x)$

$= (x^2 - 2x + 2)(x^2 + 2x + 2)$

3. 最終的な答え

(1) $(x + 2y - 1)(x + y + 3)$

(2) $(x^2 - 8x + 10)(x-2)(x-6)$

(3) $(x-3)(x+3)(x^2+1)$

(4) $(x^2 - 2x + 2)(x^2 + 2x + 2)$