1が書かれたカードが1枚、2が書かれたカードが3枚、3が書かれたカードが3枚、4が書かれたカードが3枚、合計10枚のカードがある。この中からカードを1枚ずつ元に戻さずに2枚続けて引くとき、偶数のカードを引く回数を $X$ とする。確率変数 $X$ の確率分布を求める。

1. 問題の内容

1が書かれたカードが1枚、2が書かれたカードが3枚、3が書かれたカードが3枚、4が書かれたカードが3枚、合計10枚のカードがある。この中からカードを1枚ずつ元に戻さずに2枚続けて引くとき、偶数のカードを引く回数を $X$ とする。確率変数 $X$ の確率分布を求める。

2. 解き方の手順

$X$ は偶数のカードを引く回数なので、$X$ の取りうる値は 0, 1, 2 である。それぞれの確率を計算する。

* $X = 0$ の場合：2枚とも奇数のカードを引く確率。

奇数のカードは1と3なので、合計4枚。

$P(X=0) = \frac{4}{10} \times \frac{3}{9} = \frac{12}{90} = \frac{2}{15}$

* $X = 1$ の場合：1枚が偶数、1枚が奇数のカードを引く確率。

偶数のカードを最初に引く場合と、奇数のカードを最初に引く場合の2パターンがある。

$P(X=1) = \frac{6}{10} \times \frac{4}{9} + \frac{4}{10} \times \frac{6}{9} = \frac{24}{90} + \frac{24}{90} = \frac{48}{90} = \frac{8}{15}$

* $X = 2$ の場合：2枚とも偶数のカードを引く確率。

偶数のカードは2と4なので、合計6枚。

$P(X=2) = \frac{6}{10} \times \frac{5}{9} = \frac{30}{90} = \frac{1}{3} = \frac{5}{15}$

それぞれの確率の合計が1になっているか確認する。

$\frac{2}{15} + \frac{8}{15} + \frac{5}{15} = \frac{15}{15} = 1$

3. 最終的な答え

$X$ | 0 | 1 | 2 | 計

---|---|---|---|---

$P$ | 2/15 | 8/15 | 5/15 | 1