(1) $(2-3i)(a+bi) = 1+2i$ を満たす実数 $a, b$ の値を求める。 (2) $2x^2 - 3(1+2i)x + 1 + 3i = 0$ の実数解を求める。

1. 問題の内容

(1) $(2-3i)(a+bi) = 1+2i$ を満たす実数 $a, b$ の値を求める。

(2) $2x^2 - 3(1+2i)x + 1 + 3i = 0$ の実数解を求める。

2. 解き方の手順

(1) $(2-3i)(a+bi) = 1+2i$ の左辺を展開する。

$2a + 2bi - 3ai - 3bi^2 = 2a + 2bi - 3ai + 3b = (2a + 3b) + (2b - 3a)i$

これより、

$2a + 3b = 1$

$2b - 3a = 2$

この連立方程式を解く。

1つ目の式を3倍、2つ目の式を2倍して、

$6a + 9b = 3$

$4b - 6a = 4$

足し合わせると、

$13b = 7$

$b = \frac{7}{13}$

これを $2a + 3b = 1$ に代入すると、

$2a + 3(\frac{7}{13}) = 1$

$2a + \frac{21}{13} = 1$

$2a = 1 - \frac{21}{13} = \frac{13-21}{13} = -\frac{8}{13}$

$a = -\frac{4}{13}$

(2) $2x^2 - 3(1+2i)x + 1 + 3i = 0$ を解く。

解の公式を用いる。

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

$a = 2, b = -3(1+2i), c = 1+3i$

$x = \frac{3(1+2i) \pm \sqrt{9(1+2i)^2 - 4(2)(1+3i)}}{4}$

$x = \frac{3+6i \pm \sqrt{9(1+4i-4) - 8(1+3i)}}{4}$

$x = \frac{3+6i \pm \sqrt{9(-3+4i) - 8 - 24i}}{4}$

$x = \frac{3+6i \pm \sqrt{-27+36i - 8 - 24i}}{4}$

$x = \frac{3+6i \pm \sqrt{-35+12i}}{4}$

$\sqrt{-35+12i} = p+qi$ とおく。

$-35+12i = (p+qi)^2 = p^2 - q^2 + 2pqi$

$p^2 - q^2 = -35$

$2pq = 12$

$pq = 6$

$q = \frac{6}{p}$

$p^2 - \frac{36}{p^2} = -35$

$p^4 - 36 = -35p^2$

$p^4 + 35p^2 - 36 = 0$

$(p^2+36)(p^2-1) = 0$

$p^2 = 1$

$p = \pm 1$

$p=1$ のとき $q=6$

$p=-1$ のとき $q=-6$

$\sqrt{-35+12i} = 1+6i$

$x = \frac{3+6i \pm (1+6i)}{4}$

$x = \frac{3+6i + 1+6i}{4} = \frac{4+12i}{4} = 1+3i$

$x = \frac{3+6i - (1+6i)}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

実数解は $x = \frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $a = -\frac{4}{13}, b = \frac{7}{13}$

(2) $x = \frac{1}{2}$