三角形ABCにおいて、点Qは辺ABを3:1に内分し、点Rは辺BCを3:2に内分する。線分ARと線分CQの交点をOとする。このとき、AO:ORを求めよ。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、点Qは辺ABを3:1に内分し、点Rは辺BCを3:2に内分する。線分ARと線分CQの交点をOとする。このとき、AO:ORを求めよ。

2. 解き方の手順

この問題は、チェバの定理とメネラウスの定理、またはベクトルの知識を使って解くことができます。ここでは、メネラウスの定理を用いて解いていきます。

まず、三角形BCRに対して、直線AQに着目し、メネラウスの定理を適用します。

$$\frac{BA}{AQ} \cdot \frac{QO}{OR} \cdot \frac{RC}{CB} = 1$$

問題文より、BA:AQ = 4:3であり、RC:CB = 2:5です。したがって、

$$\frac{4}{3} \cdot \frac{QO}{OR} \cdot \frac{2}{5} = 1$$

$$\frac{8}{15} \cdot \frac{QO}{OR} = 1$$

$$\frac{QO}{OR} = \frac{15}{8}$$

次に、三角形ABRに対して、直線CQに着目し、メネラウスの定理を適用します。

$$\frac{BC}{CR} \cdot \frac{RO}{OA} \cdot \frac{AQ}{QB} = 1$$

問題文より、BC:CR = 5:2であり、AQ:QB = 3:1です。したがって、

$$\frac{5}{2} \cdot \frac{RO}{OA} \cdot \frac{3}{1} = 1$$

$$\frac{15}{2} \cdot \frac{RO}{OA} = 1$$

$$\frac{RO}{OA} = \frac{2}{15}$$

よって、

$$\frac{AO}{OR} = \frac{15}{2}$$

3. 最終的な答え

AO:OR = 15:2