問題は2つの部分に分かれています。 (1) $\frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{5}}$ の分母を有理化する問題。 (2) $\frac{1}{1+\sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{5}} + \frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{7}} + \frac{1}{\sqrt{7}+\sqrt{9}}$ を計算する問題。

1. 問題の内容

問題は2つの部分に分かれています。

(1) $\frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{5}}$ の分母を有理化する問題。

(2) $\frac{1}{1+\sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{5}} + \frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{7}} + \frac{1}{\sqrt{7}+\sqrt{9}}$ を計算する問題。

2. 解き方の手順

(1) 分母の有理化

$\frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{5}}$ の分母を有理化するため、分母と分子に $\sqrt{3} - \sqrt{5}$ を掛けます。

$\frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{5}} \times \frac{\sqrt{3} - \sqrt{5}}{\sqrt{3} - \sqrt{5}} = \frac{\sqrt{3} - \sqrt{5}}{(\sqrt{3})^2 - (\sqrt{5})^2} = \frac{\sqrt{3} - \sqrt{5}}{3 - 5} = \frac{\sqrt{3} - \sqrt{5}}{-2} = \frac{-\sqrt{3} + \sqrt{5}}{2} = \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{2}$

(2) 式の計算

各項の分母を有理化します。

$\frac{1}{1+\sqrt{3}} = \frac{1}{1+\sqrt{3}} \times \frac{1-\sqrt{3}}{1-\sqrt{3}} = \frac{1-\sqrt{3}}{1-3} = \frac{1-\sqrt{3}}{-2} = \frac{-1+\sqrt{3}}{2}$

$\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{3}-\sqrt{5}}{3-5} = \frac{\sqrt{3}-\sqrt{5}}{-2} = \frac{-\sqrt{3}+\sqrt{5}}{2}$

$\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{7}} = \frac{\sqrt{5}-\sqrt{7}}{5-7} = \frac{\sqrt{5}-\sqrt{7}}{-2} = \frac{-\sqrt{5}+\sqrt{7}}{2}$

$\frac{1}{\sqrt{7}+\sqrt{9}} = \frac{\sqrt{7}-\sqrt{9}}{7-9} = \frac{\sqrt{7}-3}{-2} = \frac{-\sqrt{7}+3}{2}$

よって、

$\frac{1}{1+\sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{5}} + \frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{7}} + \frac{1}{\sqrt{7}+\sqrt{9}} = \frac{-1+\sqrt{3}}{2} + \frac{-\sqrt{3}+\sqrt{5}}{2} + \frac{-\sqrt{5}+\sqrt{7}}{2} + \frac{-\sqrt{7}+3}{2}$

$= \frac{-1+\sqrt{3}-\sqrt{3}+\sqrt{5}-\sqrt{5}+\sqrt{7}-\sqrt{7}+3}{2} = \frac{-1+3}{2} = \frac{2}{2} = 1$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{2}$

(2) $\frac{1}{1+\sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{5}} + \frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{7}} + \frac{1}{\sqrt{7}+\sqrt{9}} = 1$