$\theta$ は鋭角である。 (1) $\sin\theta = \frac{\sqrt{6}}{3}$ のとき、$\cos\theta$ と $\tan\theta$ の値を求める。 (2) $\cos\theta = \frac{12}{13}$ のとき、$\sin\theta$ と $\tan\theta$ の値を求める。

1. 問題の内容

$\theta$ は鋭角である。

(1) $\sin\theta = \frac{\sqrt{6}}{3}$ のとき、$\cos\theta$ と $\tan\theta$ の値を求める。

(2) $\cos\theta = \frac{12}{13}$ のとき、$\sin\theta$ と $\tan\theta$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) $\sin\theta = \frac{\sqrt{6}}{3}$ のとき

三角関数の相互関係 $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ を利用する。

$\cos^2\theta = 1 - \sin^2\theta$

$\cos^2\theta = 1 - \left(\frac{\sqrt{6}}{3}\right)^2 = 1 - \frac{6}{9} = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$

$\theta$ は鋭角なので $\cos\theta > 0$ であるから、

$\cos\theta = \sqrt{\frac{1}{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$

$\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} = \frac{\frac{\sqrt{6}}{3}}{\frac{\sqrt{3}}{3}} = \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{3}} = \sqrt{\frac{6}{3}} = \sqrt{2}$

(2) $\cos\theta = \frac{12}{13}$ のとき

三角関数の相互関係 $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ を利用する。

$\sin^2\theta = 1 - \cos^2\theta$

$\sin^2\theta = 1 - \left(\frac{12}{13}\right)^2 = 1 - \frac{144}{169} = \frac{169 - 144}{169} = \frac{25}{169}$

$\theta$ は鋭角なので $\sin\theta > 0$ であるから、

$\sin\theta = \sqrt{\frac{25}{169}} = \frac{5}{13}$

$\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} = \frac{\frac{5}{13}}{\frac{12}{13}} = \frac{5}{12}$

3. 最終的な答え

(1) $\cos\theta = \frac{\sqrt{3}}{3}$, $\tan\theta = \sqrt{2}$

(2) $\sin\theta = \frac{5}{13}$, $\tan\theta = \frac{5}{12}$