曲線 $y = x^2 + 2x + 1$ 上の点 (1, 0) から引かれた接線の方程式と接点の座標を求める問題です。

1. 問題の内容

曲線 $y = x^2 + 2x + 1$ 上の点 (1, 0) から引かれた接線の方程式と接点の座標を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた点 (1, 0) が本当に曲線 $y = x^2 + 2x + 1$ 上にあるか確認します。

$x = 1$ を代入すると、$y = 1^2 + 2(1) + 1 = 1 + 2 + 1 = 4$ となり、(1, 0) は曲線上にないことがわかります。

問題文に「曲線上に与えられた点から引かれた」とあるのに、実際にはそうではないので、これは問題がおかしいです。

しかし、問題文の意図を汲み取り、(1, 0) を曲線外の点として、この点を通る接線を求めることにします。

接点の座標を $(t, t^2 + 2t + 1)$ とします。

$y = x^2 + 2x + 1$ を $x$ で微分すると、

$\frac{dy}{dx} = 2x + 2$ となります。

よって、$x = t$ における接線の傾きは $2t + 2$ となります。

接線の方程式は、$y - (t^2 + 2t + 1) = (2t + 2)(x - t)$ となります。

この接線が点 (1, 0) を通るので、代入すると、

$0 - (t^2 + 2t + 1) = (2t + 2)(1 - t)$

$-t^2 - 2t - 1 = 2t + 2 - 2t^2 - 2t$

$-t^2 - 2t - 1 = 2 - 2t^2$

$t^2 - 2t - 3 = 0$

$(t - 3)(t + 1) = 0$

$t = 3, -1$

(i) $t = 3$ のとき、接点は $(3, 3^2 + 2(3) + 1) = (3, 9 + 6 + 1) = (3, 16)$ です。

接線の傾きは $2(3) + 2 = 6 + 2 = 8$ です。

接線の方程式は、$y - 16 = 8(x - 3)$ より、$y = 8x - 24 + 16$ で、$y = 8x - 8$ です。

(ii) $t = -1$ のとき、接点は $(-1, (-1)^2 + 2(-1) + 1) = (-1, 1 - 2 + 1) = (-1, 0)$ です。

接線の傾きは $2(-1) + 2 = -2 + 2 = 0$ です。

接線の方程式は、$y - 0 = 0(x + 1)$ より、$y = 0$ です。

3. 最終的な答え

接線の方程式が $y=8x-8$ のとき、接点は $(3, 16)$

接線の方程式が $y=0$ のとき、接点は $(-1, 0)$