関数 $f(x) = x^2 \log x$ の増減、極値、グラフの凹凸、変曲点を調べて、グラフの概形を描く。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = x^2 \log x$ の増減、極値、グラフの凹凸、変曲点を調べて、グラフの概形を描く。

2. 解き方の手順

(1) 定義域を求める：$\log x$ が定義されるためには $x > 0$ である必要がある。

(2) 導関数を求める：

$f'(x) = (x^2)' \log x + x^2 (\log x)' = 2x \log x + x^2 \cdot \frac{1}{x} = 2x \log x + x = x(2 \log x + 1)$.

$f''(x) = (2x \log x + x)' = (2x)' \log x + 2x (\log x)' + 1 = 2 \log x + 2x \cdot \frac{1}{x} + 1 = 2 \log x + 2 + 1 = 2 \log x + 3$.

(3) 極値を求める：$f'(x) = 0$ となる $x$ を求める。$x(2 \log x + 1) = 0$ より、$x=0$ または $2 \log x + 1 = 0$。ただし、$x > 0$ なので、$x=0$ は不適。$2 \log x + 1 = 0$ より、$\log x = -\frac{1}{2}$。したがって、$x = e^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{e}}$。

$x = \frac{1}{\sqrt{e}}$ のとき、$f(x) = (\frac{1}{\sqrt{e}})^2 \log (\frac{1}{\sqrt{e}}) = \frac{1}{e} \cdot (-\frac{1}{2}) = -\frac{1}{2e}$。

増減表は次のようになる：

$x$ | $0$ ~ $\frac{1}{\sqrt{e}}$ | $\frac{1}{\sqrt{e}}$ | $\frac{1}{\sqrt{e}}$ ~ $\infty$

---|---|---|---

$f'(x)$ | $-$ | $0$ | $+$

$f(x)$ |減少| 極小$-\frac{1}{2e}$ | 増加

(4) 変曲点を求める：$f''(x) = 0$ となる $x$ を求める。$2 \log x + 3 = 0$ より、$\log x = -\frac{3}{2}$。したがって、$x = e^{-\frac{3}{2}} = \frac{1}{e \sqrt{e}}$.

$x = e^{-\frac{3}{2}}$ のとき、$f(x) = (e^{-\frac{3}{2}})^2 \log (e^{-\frac{3}{2}}) = e^{-3} \cdot (-\frac{3}{2}) = -\frac{3}{2e^3}$.

凹凸表は次のようになる：

$x$ | $0$ ~ $e^{-\frac{3}{2}}$ | $e^{-\frac{3}{2}}$ | $e^{-\frac{3}{2}}$ ~ $\infty$

---|---|---|---

$f''(x)$ | $-$ | $0$ | $+$

$f(x)$ |上に凸| 変曲点 $-\frac{3}{2e^3}$ | 下に凸

(5) グラフの概形を描く：

$x \to +0$ のとき、$f(x) = x^2 \log x \to 0$ である。（ロピタルの定理を使用）

$\lim_{x \to +0} x^2 \log x = \lim_{x \to +0} \frac{\log x}{\frac{1}{x^2}} = \lim_{x \to +0} \frac{\frac{1}{x}}{-\frac{2}{x^3}} = \lim_{x \to +0} -\frac{x^2}{2} = 0$.

3. 最終的な答え

* 定義域: $x > 0$

* 極小値: $x = e^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{e}}$ のとき、$f(x) = -\frac{1}{2e}$

* 変曲点: $x = e^{-\frac{3}{2}} = \frac{1}{e \sqrt{e}}$ のとき、$f(x) = -\frac{3}{2e^3}$

* $x \to +0$ のとき、$f(x) \to 0$

* グラフの概形：（グラフは省略）