3次方程式 $x^3 - 6x + 3 = 0$ の実数解の個数を求める問題です。

1. 問題の内容

3次方程式 $x^3 - 6x + 3 = 0$ の実数解の個数を求める問題です。

2. 解き方の手順

この3次方程式の実数解の個数を求めるためには、微分を使って関数の増減を調べ、グラフを描いてx軸との交点の数を調べます。

まず、$f(x) = x^3 - 6x + 3$ とおきます。

次に、$f(x)$ の導関数 $f'(x)$ を求めます。

$f'(x) = 3x^2 - 6$

$f'(x) = 0$ となる $x$ を求めます。

$3x^2 - 6 = 0$

$3x^2 = 6$

$x^2 = 2$

$x = \pm \sqrt{2}$

したがって、$x = \sqrt{2}$ と $x = -\sqrt{2}$ が極値を与える点です。

次に、増減表を作成します。

$x < -\sqrt{2}$ のとき、$f'(x) > 0$ (増加)

$x = -\sqrt{2}$ のとき、$f'(x) = 0$

$-\sqrt{2} < x < \sqrt{2}$ のとき、$f'(x) < 0$ (減少)

$x = \sqrt{2}$ のとき、$f'(x) = 0$

$x > \sqrt{2}$ のとき、$f'(x) > 0$ (増加)

$f(-\sqrt{2}) = (-\sqrt{2})^3 - 6(-\sqrt{2}) + 3 = -2\sqrt{2} + 6\sqrt{2} + 3 = 4\sqrt{2} + 3 > 0$

$f(\sqrt{2}) = (\sqrt{2})^3 - 6(\sqrt{2}) + 3 = 2\sqrt{2} - 6\sqrt{2} + 3 = -4\sqrt{2} + 3 < 0$

$f(-\sqrt{2}) > 0$ であり、$f(\sqrt{2}) < 0$ であることから、$x^3 - 6x + 3 = 0$ は3つの実数解を持つことがわかります。

$f(-3) = (-3)^3 - 6(-3) + 3 = -27 + 18 + 3 = -6 < 0$

$f(0) = 3 > 0$

$f(2) = 2^3 - 6(2) + 3 = 8 - 12 + 3 = -1 < 0$

$f(3) = 3^3 - 6(3) + 3 = 27 - 18 + 3 = 12 > 0$

実数解は-3と0の間、0と2の間、2と3の間に存在します。

3. 最終的な答え

3個