曲線 $y = x^3 + x^2 - x - 1$ 上の点 $(1, 0)$ における接線の方程式を求めよ。

1. 問題の内容

曲線 $y = x^3 + x^2 - x - 1$ 上の点 $(1, 0)$ における接線の方程式を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数の導関数を計算します。

$y = x^3 + x^2 - x - 1$ を $x$ で微分すると、

$\frac{dy}{dx} = 3x^2 + 2x - 1$

次に、点 $(1, 0)$ における接線の傾きを求めます。$x = 1$ を導関数に代入します。

$\frac{dy}{dx}|_{x=1} = 3(1)^2 + 2(1) - 1 = 3 + 2 - 1 = 4$

したがって、点 $(1, 0)$ における接線の傾きは $4$ です。

次に、点 $(1, 0)$ を通り傾きが $4$ の直線の方程式を求めます。点傾斜式を使うと、

$y - y_1 = m(x - x_1)$

ここで、$(x_1, y_1) = (1, 0)$ であり、$m = 4$ です。

したがって、接線の方程式は

$y - 0 = 4(x - 1)$

$y = 4x - 4$

3. 最終的な答え

$y = 4x - 4$