曲線 $y = x^3 + 2$ 上にない点 $(0, 18)$ から引かれた接線の方程式と、その接点の座標を求める問題です。

1. 問題の内容

曲線 $y = x^3 + 2$ 上にない点 $(0, 18)$ から引かれた接線の方程式と、その接点の座標を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) 接点の座標を $(t, t^3 + 2)$ とおく。

(2) $y = x^3 + 2$ を微分して、導関数を求める。

$y' = 3x^2$

(3) $x = t$ における接線の傾きは $3t^2$ である。

(4) 接線の方程式は、$y - (t^3 + 2) = 3t^2(x - t)$ と表せる。

(5) この接線が点 $(0, 18)$ を通ることから、

$18 - (t^3 + 2) = 3t^2(0 - t)$

$16 - t^3 = -3t^3$

$2t^3 = -16$

$t^3 = -8$

$t = -2$

(6) 接点の座標は $(-2, (-2)^3 + 2) = (-2, -8 + 2) = (-2, -6)$

(7) 接線の傾きは $3(-2)^2 = 3(4) = 12$

(8) 接線の方程式は、$y - (-6) = 12(x - (-2))$

$y + 6 = 12(x + 2)$

$y + 6 = 12x + 24$

$y = 12x + 18$

3. 最終的な答え

接線の方程式: $y = 12x + 18$

接点の座標: $(-2, -6)$