問題は、与えられた関数で表される曲線の長さを求めることです。3つの小問があります。 (1) $y = \sqrt{1 - x^2}$ ($0 \le x \le \frac{1}{2}$) (2) $y = 2x\sqrt{x}$ ($0 \le x \le 1$) (3) $y = x^2$ ($0 \le x \le 2$)

1. 問題の内容

問題は、与えられた関数で表される曲線の長さを求めることです。3つの小問があります。

(1) $y = \sqrt{1 - x^2}$ ($0 \le x \le \frac{1}{2}$)

(2) $y = 2x\sqrt{x}$ ($0 \le x \le 1$)

(3) $y = x^2$ ($0 \le x \le 2$)

2. 解き方の手順

曲線の長さ $L$ は一般に以下の式で計算できます。

$L = \int_a^b \sqrt{1 + (\frac{dy}{dx})^2} dx$

(1)

まず、$y$ を $x$ で微分します。

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2}(1-x^2)^{-\frac{1}{2}}(-2x) = \frac{-x}{\sqrt{1-x^2}}$

$(\frac{dy}{dx})^2 = \frac{x^2}{1-x^2}$

$1 + (\frac{dy}{dx})^2 = 1 + \frac{x^2}{1-x^2} = \frac{1-x^2 + x^2}{1-x^2} = \frac{1}{1-x^2}$

$\sqrt{1 + (\frac{dy}{dx})^2} = \sqrt{\frac{1}{1-x^2}} = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

$L = \int_0^{\frac{1}{2}} \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx = [\arcsin(x)]_0^{\frac{1}{2}} = \arcsin(\frac{1}{2}) - \arcsin(0) = \frac{\pi}{6} - 0 = \frac{\pi}{6}$

(2)

$y = 2x^{\frac{3}{2}}$

$\frac{dy}{dx} = 2 \cdot \frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}} = 3\sqrt{x}$

$(\frac{dy}{dx})^2 = 9x$

$1 + (\frac{dy}{dx})^2 = 1 + 9x$

$L = \int_0^1 \sqrt{1 + 9x} dx$

$u = 1 + 9x$ と置換すると、$du = 9 dx$ より $dx = \frac{1}{9} du$

$x = 0$ のとき $u = 1$, $x = 1$ のとき $u = 10$

$L = \int_1^{10} \sqrt{u} \cdot \frac{1}{9} du = \frac{1}{9} \int_1^{10} u^{\frac{1}{2}} du = \frac{1}{9} [\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_1^{10} = \frac{2}{27} [u^{\frac{3}{2}}]_1^{10} = \frac{2}{27} (10\sqrt{10} - 1)$

(3)

$y = x^2$

$\frac{dy}{dx} = 2x$

$(\frac{dy}{dx})^2 = 4x^2$

$1 + (\frac{dy}{dx})^2 = 1 + 4x^2$

$L = \int_0^2 \sqrt{1 + 4x^2} dx$

問題文に与えられた公式を用いる。

$\int \sqrt{x^2 + A} dx = \frac{1}{2}x\sqrt{x^2 + A} + \frac{A}{2} \log|x + \sqrt{x^2 + A}| + C$

この問題では $\int \sqrt{4x^2 + 1} dx$ を計算する必要がある。そこで、積分変数を $u = 2x$ と置き換える。すると、$du = 2dx$ となり、$dx = \frac{1}{2}du$ 。

$\int \sqrt{1 + 4x^2}dx = \int \sqrt{1 + u^2} \cdot \frac{1}{2}du = \frac{1}{2} \int \sqrt{u^2 + 1} du = \frac{1}{2} [\frac{1}{2}u\sqrt{u^2 + 1} + \frac{1}{2} \log|u + \sqrt{u^2 + 1}|] + C = \frac{1}{4} u\sqrt{u^2 + 1} + \frac{1}{4} \log|u + \sqrt{u^2 + 1}| + C = \frac{1}{4} (2x)\sqrt{(2x)^2 + 1} + \frac{1}{4} \log|2x + \sqrt{(2x)^2 + 1}| + C = \frac{1}{2}x\sqrt{4x^2 + 1} + \frac{1}{4} \log|2x + \sqrt{4x^2 + 1}| + C$

$L = [\frac{1}{2}x\sqrt{4x^2 + 1} + \frac{1}{4} \log|2x + \sqrt{4x^2 + 1}|]_0^2 = \frac{1}{2} \cdot 2 \sqrt{4 \cdot 4 + 1} + \frac{1}{4} \log|2 \cdot 2 + \sqrt{4 \cdot 4 + 1}| - 0 - \frac{1}{4} \log|0+1| = \sqrt{17} + \frac{1}{4} \log(4 + \sqrt{17})$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{\pi}{6}$

(2) $\frac{2}{27}(10\sqrt{10} - 1)$

(3) $\sqrt{17} + \frac{1}{4}\log(4 + \sqrt{17})$