3次方程式 $x^3 - 6x + 4 = 0$ は実数解をいくつ持つかを求める問題です。

1. 問題の内容

3次方程式 $x^3 - 6x + 4 = 0$ は実数解をいくつ持つかを求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、関数 $f(x) = x^3 - 6x + 4$ を考えます。この関数の実数解の個数は、$f(x) = 0$ の実数解の個数と一致します。

次に、$f(x)$ の増減を調べるために、導関数 $f'(x)$ を計算します。

$f'(x) = 3x^2 - 6$

$f'(x) = 0$ となる $x$ を求めます。

$3x^2 - 6 = 0$

$3x^2 = 6$

$x^2 = 2$

$x = \pm \sqrt{2}$

よって、$x = -\sqrt{2}$ と $x = \sqrt{2}$ が極値を取る候補となります。

$f(-\sqrt{2}) = (-\sqrt{2})^3 - 6(-\sqrt{2}) + 4 = -2\sqrt{2} + 6\sqrt{2} + 4 = 4\sqrt{2} + 4 > 0$

$f(\sqrt{2}) = (\sqrt{2})^3 - 6(\sqrt{2}) + 4 = 2\sqrt{2} - 6\sqrt{2} + 4 = -4\sqrt{2} + 4 = 4(1 - \sqrt{2}) < 0$

$f(x)$ は $x = -\sqrt{2}$ で極大値をとり、$x = \sqrt{2}$ で極小値をとることがわかります。

また、$f(x)$ は $x \to -\infty$ で $-\infty$ に、$x \to \infty$ で $\infty$ に発散します。

$f(-\infty) < 0$, $f(-\sqrt{2}) > 0$, $f(\sqrt{2}) < 0$, $f(\infty) > 0$ であることから、$f(x) = 0$ は異なる3つの実数解を持つことがわかります。

実際、$f(2) = 2^3 - 6(2) + 4 = 8 - 12 + 4 = 0$ なので、$x = 2$ は実数解の一つです。

$f(x)$ を $x - 2$ で割ると、

$x^3 - 6x + 4 = (x - 2)(x^2 + 2x - 2)$

$x^2 + 2x - 2 = 0$ の解は、解の公式より

$x = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4(1)(-2)}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 8}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{3}}{2} = -1 \pm \sqrt{3}$

よって、$x = 2, -1 + \sqrt{3}, -1 - \sqrt{3}$ の3つの実数解を持ちます。

3. 最終的な答え

3個