与えられた積分の問題を解きます。問題は不定積分 $\int xe^{2x} dx$ を計算することです。

1. 問題の内容

与えられた積分の問題を解きます。問題は不定積分 $\int xe^{2x} dx$ を計算することです。

2. 解き方の手順

この積分を解くには、部分積分法を用います。部分積分法は $\int u dv = uv - \int v du$ という公式に基づいています。

ここでは、$u = x$、$dv = e^{2x} dx$ とおきます。

まず、$u$ を微分して $du$ を求めます。

$du = dx$

次に、$dv$ を積分して $v$ を求めます。

$v = \int e^{2x} dx = \frac{1}{2}e^{2x}$

部分積分の公式に代入します。

$\int xe^{2x} dx = x \cdot \frac{1}{2}e^{2x} - \int \frac{1}{2}e^{2x} dx$

$= \frac{1}{2}xe^{2x} - \frac{1}{2} \int e^{2x} dx$

$\int e^{2x} dx = \frac{1}{2}e^{2x}$ なので、

$= \frac{1}{2}xe^{2x} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}e^{2x} + C$

$= \frac{1}{2}xe^{2x} - \frac{1}{4}e^{2x} + C$

$= \frac{1}{4}e^{2x}(2x - 1) + C$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{4}e^{2x}(2x - 1) + C$