$0^\circ \le \theta \le 180^\circ$ のとき、次の等式を満たす $\theta$ を求めます。 (1) $\sin \theta = \frac{1}{\sqrt{2}}$ (2) $\cos \theta = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ (3) $\tan \theta = \sqrt{3}$

1. 問題の内容

$0^\circ \le \theta \le 180^\circ$ のとき、次の等式を満たす $\theta$ を求めます。

(1) $\sin \theta = \frac{1}{\sqrt{2}}$

(2) $\cos \theta = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

(3) $\tan \theta = \sqrt{3}$

2. 解き方の手順

(1) $\sin \theta = \frac{1}{\sqrt{2}}$ の場合:

$\sin \theta$ は、単位円における $y$ 座標に対応します。

$\sin \theta = \frac{1}{\sqrt{2}}$ となるのは、$\theta = 45^\circ$ のときです。

また、$0^\circ \le \theta \le 180^\circ$ の範囲で、$\sin (180^\circ - \theta) = \sin \theta$ が成り立つので、

$\theta = 180^\circ - 45^\circ = 135^\circ$ も解になります。

しかし、$135^\circ$ は条件を満たしません。

したがって、$\theta = 45^\circ$ が解です。

(2) $\cos \theta = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ の場合:

$\cos \theta$ は、単位円における $x$ 座標に対応します。

$\cos \theta = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ となる角度は、第2象限に存在します。

$\cos (180^\circ - \theta) = - \cos \theta$ を利用して考えます。

$\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$ であるから、$\cos (180^\circ - 30^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ となります。

よって、$\theta = 180^\circ - 30^\circ = 150^\circ$ が解です。

(3) $\tan \theta = \sqrt{3}$ の場合:

$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$ です。

$\tan \theta = \sqrt{3}$ となるのは、$\theta = 60^\circ$ のときです。

$0^\circ \le \theta \le 180^\circ$ の範囲では、$\tan \theta$ は第1象限で正の値、第2象限で負の値を取ります。

$\tan \theta$ が正の値となるのは、$\theta$ が第1象限にあるときです。

したがって、$\theta = 60^\circ$ が解です。

3. 最終的な答え

(1) $\theta = 45^\circ$

(2) $\theta = 150^\circ$

(3) $\theta = 60^\circ$