$\tan \theta = 2$ のとき、$\frac{1}{1 + \sin \theta} + \frac{1}{1 - \sin \theta}$ の値を求める。

1. 問題の内容

$\tan \theta = 2$ のとき、$\frac{1}{1 + \sin \theta} + \frac{1}{1 - \sin \theta}$ の値を求める。

2. 解き方の手順

与えられた式を計算する。

$\frac{1}{1 + \sin \theta} + \frac{1}{1 - \sin \theta} = \frac{(1 - \sin \theta) + (1 + \sin \theta)}{(1 + \sin \theta)(1 - \sin \theta)} = \frac{2}{1 - \sin^2 \theta}$

三角関数の相互関係より、$\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$ なので、$1 - \sin^2 \theta = \cos^2 \theta$

よって、$\frac{2}{1 - \sin^2 \theta} = \frac{2}{\cos^2 \theta} = 2 \cdot \frac{1}{\cos^2 \theta}$

$\tan^2 \theta + 1 = \frac{\sin^2 \theta}{\cos^2 \theta} + 1 = \frac{\sin^2 \theta + \cos^2 \theta}{\cos^2 \theta} = \frac{1}{\cos^2 \theta}$

したがって、$\frac{1}{\cos^2 \theta} = \tan^2 \theta + 1$

$\tan \theta = 2$ なので、$\tan^2 \theta = 2^2 = 4$

$\frac{1}{\cos^2 \theta} = 4 + 1 = 5$

求める値は、 $2 \cdot \frac{1}{\cos^2 \theta} = 2 \cdot 5 = 10$

3. 最終的な答え

10