$0 \le \theta < 2\pi$ のとき、不等式 $\tan \theta \le \sqrt{3}$ を解く。

1. 問題の内容

$0 \le \theta < 2\pi$ のとき、不等式 $\tan \theta \le \sqrt{3}$ を解く。

2. 解き方の手順

まず、$\tan \theta = \sqrt{3}$ となる $\theta$ の値を求めます。

単位円上で考えると、$\tan \theta = \sqrt{3}$ となるのは $\theta = \frac{\pi}{3}$ と $\theta = \frac{4\pi}{3}$ です。

次に、$\tan \theta$ のグラフを考えます。$\tan \theta$ は $\theta = \frac{\pi}{2} + n\pi$ （$n$ は整数）で定義されません。

$0 \le \theta < 2\pi$ の範囲では、$\theta = \frac{\pi}{2}$ と $\theta = \frac{3\pi}{2}$ で定義されません。

不等式 $\tan \theta \le \sqrt{3}$ を満たす $\theta$ の範囲を求めます。

$0 \le \theta < \frac{\pi}{2}$ の範囲では、$\tan \theta$ は増加関数なので、$0 \le \theta \le \frac{\pi}{3}$ です。

$\frac{\pi}{2} < \theta < \frac{3\pi}{2}$ の範囲では、$\tan \theta$ は増加関数なので、$\frac{\pi}{2} < \theta \le \frac{4\pi}{3}$ です。

$\frac{3\pi}{2} < \theta < 2\pi$ の範囲では、$\tan \theta$ は負の値を取るので、$\tan \theta \le \sqrt{3}$ は常に成り立ちます。

したがって、$\tan \theta \le \sqrt{3}$ を満たす $\theta$ の範囲は、

$0 \le \theta \le \frac{\pi}{3}$、$\frac{\pi}{2} < \theta \le \frac{4\pi}{3}$、$\frac{3\pi}{2} < \theta < 2\pi$ です。

3. 最終的な答え

$0 \le \theta \le \frac{\pi}{3}$, $\frac{\pi}{2} < \theta \le \frac{4\pi}{3}$, $\frac{3\pi}{2} < \theta < 2\pi$