$105^\circ = 60^\circ + 45^\circ$ を利用して、$\sin 105^\circ$ と $\cos 105^\circ$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$105^\circ = 60^\circ + 45^\circ$ を利用して、$\sin 105^\circ$ と $\cos 105^\circ$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、三角関数の加法定理を確認します。

$\sin(A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$

$\cos(A+B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B$

これらの式に、$A = 60^\circ$、 $B = 45^\circ$ を代入して計算します。

$\sin 105^\circ = \sin(60^\circ + 45^\circ) = \sin 60^\circ \cos 45^\circ + \cos 60^\circ \sin 45^\circ$

$\cos 105^\circ = \cos(60^\circ + 45^\circ) = \cos 60^\circ \cos 45^\circ - \sin 60^\circ \sin 45^\circ$

既知の三角関数の値を代入します。

$\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$

$\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\sin 105^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$

$\cos 105^\circ = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{4} - \frac{\sqrt{6}}{4} = \frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{4}$

3. 最終的な答え

$\sin 105^\circ = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$

$\cos 105^\circ = \frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{4}$