問題 (4) は $3\sin\theta + \sqrt{3}\cos\theta$ を簡単にすることです。 問題 225 (1) は関数 $y=2\sin\theta + \cos\theta$ の最大値と最小値を求めることです。

1. 問題の内容

問題 (4) は $3\sin\theta + \sqrt{3}\cos\theta$ を簡単にすることです。

問題 225 (1) は関数 $y=2\sin\theta + \cos\theta$ の最大値と最小値を求めることです。

2. 解き方の手順

問題 (4) $3\sin\theta + \sqrt{3}\cos\theta$ は三角関数の合成を使って簡単にします。

$3\sin\theta + \sqrt{3}\cos\theta = \sqrt{3^2 + (\sqrt{3})^2}\sin(\theta + \alpha) = \sqrt{9+3}\sin(\theta + \alpha) = \sqrt{12}\sin(\theta+\alpha) = 2\sqrt{3}\sin(\theta+\alpha)$.

ここで、$\cos\alpha = \frac{3}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ and $\sin\alpha = \frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{3}} = \frac{1}{2}$.

つまり、$\alpha = \frac{\pi}{6}$.

問題 225 (1) $y=2\sin\theta + \cos\theta$ の最大値と最小値を求める。

三角関数の合成を使って $y$ を変形します。

$y = 2\sin\theta + \cos\theta = \sqrt{2^2 + 1^2}\sin(\theta + \alpha) = \sqrt{5}\sin(\theta + \alpha)$.

ここで、$\cos\alpha = \frac{2}{\sqrt{5}}$ and $\sin\alpha = \frac{1}{\sqrt{5}}$.

$-1 \leq \sin(\theta + \alpha) \leq 1$ なので,

$-\sqrt{5} \leq \sqrt{5}\sin(\theta + \alpha) \leq \sqrt{5}$.

したがって、最大値は $\sqrt{5}$、最小値は $-\sqrt{5}$ です。

3. 最終的な答え

問題 (4) の答え：$2\sqrt{3}\sin(\theta + \frac{\pi}{6})$

問題 225 (1) の答え：最大値 $\sqrt{5}$、最小値 $-\sqrt{5}$