(1) $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$ で、$\cos \alpha = \frac{3}{5}$ のとき、$\sin 2\alpha$ と $\cos 2\alpha$ の値を求める。 (2) 2直線 $y = \frac{2\sqrt{2}}{3}x + 2\sqrt{3}$ と $y = \sqrt{2}x + 4$ のなす角 $\theta$ について、$\tan \theta$ の値を求める。ただし、$0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ とする。

1. 問題の内容

(1) $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$ で、$\cos \alpha = \frac{3}{5}$ のとき、$\sin 2\alpha$ と $\cos 2\alpha$ の値を求める。

(2) 2直線 $y = \frac{2\sqrt{2}}{3}x + 2\sqrt{3}$ と $y = \sqrt{2}x + 4$ のなす角 $\theta$ について、$\tan \theta$ の値を求める。ただし、$0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ とする。

2. 解き方の手順

(1)

まず、$\sin \alpha$ の値を求める。$0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$ なので、$\sin \alpha > 0$ である。

$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$ より、

$\sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha = 1 - \left(\frac{3}{5}\right)^2 = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$

よって、$\sin \alpha = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}$

次に、$\sin 2\alpha$ を求める。

$\sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha = 2 \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{3}{5} = \frac{24}{25}$

次に、$\cos 2\alpha$ を求める。

$\cos 2\alpha = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha = \left(\frac{3}{5}\right)^2 - \left(\frac{4}{5}\right)^2 = \frac{9}{25} - \frac{16}{25} = -\frac{7}{25}$

(2)

2直線の傾きをそれぞれ $m_1$, $m_2$ とすると、$m_1 = \frac{2\sqrt{2}}{3}$、$m_2 = \sqrt{2}$ である。

2直線のなす角 $\theta$ に対して、

$\tan \theta = \left|\frac{m_2 - m_1}{1 + m_1 m_2}\right| = \left|\frac{\sqrt{2} - \frac{2\sqrt{2}}{3}}{1 + \frac{2\sqrt{2}}{3} \cdot \sqrt{2}}\right| = \left|\frac{\frac{\sqrt{2}}{3}}{1 + \frac{4}{3}}\right| = \left|\frac{\frac{\sqrt{2}}{3}}{\frac{7}{3}}\right| = \left|\frac{\sqrt{2}}{7}\right| = \frac{\sqrt{2}}{7}$

3. 最終的な答え

(1) $\sin 2\alpha = \frac{24}{25}$, $\cos 2\alpha = -\frac{7}{25}$

(2) $\tan \theta = \frac{\sqrt{2}}{7}$