$\tan \theta = 2$ のとき、$\frac{1}{1+\sin \theta} + \frac{1}{1-\sin \theta}$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$\tan \theta = 2$ のとき、$\frac{1}{1+\sin \theta} + \frac{1}{1-\sin \theta}$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた式を計算して簡単にします。

$\frac{1}{1+\sin \theta} + \frac{1}{1-\sin \theta} = \frac{(1-\sin \theta) + (1+\sin \theta)}{(1+\sin \theta)(1-\sin \theta)}$

$= \frac{2}{1 - \sin^2 \theta}$

三角関数の恒等式 $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ より、$1 - \sin^2 \theta = \cos^2 \theta$ なので、

$\frac{2}{1 - \sin^2 \theta} = \frac{2}{\cos^2 \theta}$

また、$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$ であり、$\tan \theta = 2$ であるので、$\frac{\sin \theta}{\cos \theta} = 2$ です。

$\cos^2 \theta$ を求めるために、$1 + \tan^2 \theta = \frac{1}{\cos^2 \theta}$ という恒等式を利用します。

$\tan \theta = 2$ を代入すると、

$1 + 2^2 = \frac{1}{\cos^2 \theta}$

$1 + 4 = \frac{1}{\cos^2 \theta}$

$5 = \frac{1}{\cos^2 \theta}$

$\cos^2 \theta = \frac{1}{5}$

したがって、$\frac{2}{\cos^2 \theta} = \frac{2}{\frac{1}{5}} = 2 \times 5 = 10$

3. 最終的な答え

10