$-\sin\theta + \cos\theta$ を $r\sin(\theta + \alpha)$ の形に変形する問題です。ただし、$r > 0$ かつ $-\pi < \alpha < \pi$ とします。

1. 問題の内容

$-\sin\theta + \cos\theta$ を $r\sin(\theta + \alpha)$ の形に変形する問題です。ただし、$r > 0$ かつ $-\pi < \alpha < \pi$ とします。

2. 解き方の手順

まず、$r\sin(\theta + \alpha)$ を三角関数の加法定理を用いて展開します。

$r\sin(\theta + \alpha) = r(\sin\theta \cos\alpha + \cos\theta \sin\alpha) = (r\cos\alpha)\sin\theta + (r\sin\alpha)\cos\theta$

与えられた式 $-\sin\theta + \cos\theta$ と比較して、以下の連立方程式を得ます。

$r\cos\alpha = -1$

$r\sin\alpha = 1$

これらの式を二乗して足し合わせると、$r^2$ が求まります。

$r^2\cos^2\alpha + r^2\sin^2\alpha = (-1)^2 + 1^2$

$r^2(\cos^2\alpha + \sin^2\alpha) = 1 + 1$

$r^2 = 2$

$r > 0$ より、$r = \sqrt{2}$ です。

次に、$\alpha$ を求めます。

$r\cos\alpha = -1$ より、$\cos\alpha = \frac{-1}{\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

$r\sin\alpha = 1$ より、$\sin\alpha = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\cos\alpha < 0$ かつ $\sin\alpha > 0$ であることから、$\alpha$ は第2象限の角であることがわかります。よって、$\alpha = \frac{3\pi}{4}$ です。この値は $-\pi < \alpha < \pi$ の条件を満たしています。

3. 最終的な答え

$\sqrt{2}\sin\left(\theta + \frac{3\pi}{4}\right)$