(1) $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$ で、$\cos \alpha = \frac{3}{4}$ のとき、$\sin 2\alpha$ と $\cos 2\alpha$ の値を求めよ。 (2) 2直線 $y = \frac{\sqrt{5}}{3}x + \sqrt{5}$ と $y = -\sqrt{5}x - 4$ のなす角 $\theta$ について、$\tan \theta$ の値を求めよ。ただし、$0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ とする。

1. 問題の内容

(1) $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$ で、$\cos \alpha = \frac{3}{4}$ のとき、$\sin 2\alpha$ と $\cos 2\alpha$ の値を求めよ。

(2) 2直線 $y = \frac{\sqrt{5}}{3}x + \sqrt{5}$ と $y = -\sqrt{5}x - 4$ のなす角 $\theta$ について、$\tan \theta$ の値を求めよ。ただし、$0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ とする。

2. 解き方の手順

(1) $\cos \alpha = \frac{3}{4}$ のとき、$\sin \alpha$ の値を求める。

$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$ より、$\sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha = 1 - \left(\frac{3}{4}\right)^2 = 1 - \frac{9}{16} = \frac{7}{16}$

$0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$ より、$\sin \alpha > 0$ であるから、$\sin \alpha = \sqrt{\frac{7}{16}} = \frac{\sqrt{7}}{4}$

$\sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha = 2 \cdot \frac{\sqrt{7}}{4} \cdot \frac{3}{4} = \frac{6\sqrt{7}}{16} = \frac{3\sqrt{7}}{8}$

$\cos 2\alpha = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha = \left(\frac{3}{4}\right)^2 - \left(\frac{\sqrt{7}}{4}\right)^2 = \frac{9}{16} - \frac{7}{16} = \frac{2}{16} = \frac{1}{8}$

(2) 2直線の傾きをそれぞれ $m_1$, $m_2$ とする。

$m_1 = \frac{\sqrt{5}}{3}$, $m_2 = -\sqrt{5}$

$\tan \theta = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2} \right| = \left| \frac{\frac{\sqrt{5}}{3} - (-\sqrt{5})}{1 + \frac{\sqrt{5}}{3}(-\sqrt{5})} \right| = \left| \frac{\frac{\sqrt{5}}{3} + \sqrt{5}}{1 - \frac{5}{3}} \right| = \left| \frac{\frac{4\sqrt{5}}{3}}{-\frac{2}{3}} \right| = \left| -2\sqrt{5} \right| = 2\sqrt{5}$

3. 最終的な答え

(1) $\sin 2\alpha = \frac{3\sqrt{7}}{8}$, $\cos 2\alpha = \frac{1}{8}$

(2) $\tan \theta = 2\sqrt{5}$