$0^\circ \le \theta \le 180^\circ$ で $\sin \theta + \cos \theta = \frac{1}{2}$ のとき、$\sin \theta \cos \theta$ と $\sin \theta - \cos \theta$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$0^\circ \le \theta \le 180^\circ$ で $\sin \theta + \cos \theta = \frac{1}{2}$ のとき、$\sin \theta \cos \theta$ と $\sin \theta - \cos \theta$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた式 $\sin \theta + \cos \theta = \frac{1}{2}$ を2乗します。

$(\sin \theta + \cos \theta)^2 = (\frac{1}{2})^2$

$\sin^2 \theta + 2\sin \theta \cos \theta + \cos^2 \theta = \frac{1}{4}$

三角関数の基本公式 $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ を用いると、

$1 + 2\sin \theta \cos \theta = \frac{1}{4}$

$2\sin \theta \cos \theta = \frac{1}{4} - 1$

$2\sin \theta \cos \theta = -\frac{3}{4}$

$\sin \theta \cos \theta = -\frac{3}{8}$

次に、$(\sin \theta - \cos \theta)^2$ を計算します。

$(\sin \theta - \cos \theta)^2 = \sin^2 \theta - 2\sin \theta \cos \theta + \cos^2 \theta$

$(\sin \theta - \cos \theta)^2 = 1 - 2\sin \theta \cos \theta$

$\sin \theta \cos \theta = -\frac{3}{8}$ を代入すると、

$(\sin \theta - \cos \theta)^2 = 1 - 2(-\frac{3}{8})$

$(\sin \theta - \cos \theta)^2 = 1 + \frac{3}{4}$

$(\sin \theta - \cos \theta)^2 = \frac{7}{4}$

したがって、$\sin \theta - \cos \theta = \pm \sqrt{\frac{7}{4}} = \pm \frac{\sqrt{7}}{2}$ となります。

$0^\circ \le \theta \le 180^\circ$ のとき、$\sin \theta \ge 0$ です。

$\sin \theta + \cos \theta = \frac{1}{2}$ より、

もし $\sin \theta > \frac{1}{2}$ ならば $\cos \theta < 0$ である必要があります。

もし $\sin \theta = \frac{1}{2}$ ならば $\cos \theta = 0$ であり、このとき $\theta = 30^\circ$ or $\theta = 150^\circ$となり、$\cos \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$ or $\cos \theta = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ となり、$\sin \theta + \cos \theta = \frac{1+\sqrt{3}}{2}$ or $\sin \theta + \cos \theta = \frac{1-\sqrt{3}}{2}$となり、$\frac{1}{2}$とは一致しません。

もし $\sin \theta < \frac{1}{2}$ ならば $\cos \theta > 0$ である必要があります。

$\sin \theta \cos \theta = - \frac{3}{8} < 0$ より、$\sin \theta$ と $\cos \theta$ は異符号である必要があります。

よって、$\cos \theta < 0$ であり、$\theta$ は第二象限の角です。そのため、$\sin \theta > 0$ であり、絶対値としては $|\sin \theta| > |\cos \theta|$ となるため、$\sin \theta > 0$ , $\cos \theta < 0$ であることから、$\sin \theta - \cos \theta > 0$ となります。

したがって、$\sin \theta - \cos \theta = \frac{\sqrt{7}}{2}$ となります。

3. 最終的な答え

$\sin \theta \cos \theta = -\frac{3}{8}$

$\sin \theta - \cos \theta = \frac{\sqrt{7}}{2}$