$0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$ で、$\sin \alpha = \frac{2}{3}$ のとき、$\sin 2\alpha$ と $\cos 2\alpha$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

$0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$ で、$\sin \alpha = \frac{2}{3}$ のとき、$\sin 2\alpha$ と $\cos 2\alpha$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$\cos \alpha$ の値を求めます。

$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$ であるから、

$\cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha$

$\cos^2 \alpha = 1 - (\frac{2}{3})^2 = 1 - \frac{4}{9} = \frac{5}{9}$

$0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$ より、$\cos \alpha > 0$ であるから、

$\cos \alpha = \sqrt{\frac{5}{9}} = \frac{\sqrt{5}}{3}$

次に、$\sin 2\alpha$ の値を求めます。

$\sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha$

$\sin 2\alpha = 2 \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{\sqrt{5}}{3} = \frac{4\sqrt{5}}{9}$

最後に、$\cos 2\alpha$ の値を求めます。

$\cos 2\alpha = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha$

$\cos 2\alpha = (\frac{\sqrt{5}}{3})^2 - (\frac{2}{3})^2 = \frac{5}{9} - \frac{4}{9} = \frac{1}{9}$

3. 最終的な答え

$\sin 2\alpha = \frac{4\sqrt{5}}{9}$

$\cos 2\alpha = \frac{1}{9}$