問題は2つあります。 (1) $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$ で、$\cos \alpha = -\frac{2}{3}$ のとき、$\sin \alpha$, $\tan \alpha$, $\sin 2\alpha$, $\cos 2\alpha$, $\tan 2\alpha$ の値を求める。 (2) $\sin 15^\circ$ の値を求める。

1. 問題の内容

問題は2つあります。

(1) $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$ で、$\cos \alpha = -\frac{2}{3}$ のとき、$\sin \alpha$, $\tan \alpha$, $\sin 2\alpha$, $\cos 2\alpha$, $\tan 2\alpha$ の値を求める。

(2) $\sin 15^\circ$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1)

$\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$ なので、$\sin \alpha > 0$。

$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$ より、

$\sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha = 1 - (-\frac{2}{3})^2 = 1 - \frac{4}{9} = \frac{5}{9}$

$\sin \alpha = \sqrt{\frac{5}{9}} = \frac{\sqrt{5}}{3}$

$\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{\frac{\sqrt{5}}{3}}{-\frac{2}{3}} = -\frac{\sqrt{5}}{2}$

2倍角の公式より、

$\sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha = 2 \cdot \frac{\sqrt{5}}{3} \cdot (-\frac{2}{3}) = -\frac{4\sqrt{5}}{9}$

$\cos 2\alpha = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha = (-\frac{2}{3})^2 - (\frac{\sqrt{5}}{3})^2 = \frac{4}{9} - \frac{5}{9} = -\frac{1}{9}$

または

$\cos 2\alpha = 2 \cos^2 \alpha - 1 = 2 \cdot (-\frac{2}{3})^2 - 1 = 2 \cdot \frac{4}{9} - 1 = \frac{8}{9} - 1 = -\frac{1}{9}$

または

$\cos 2\alpha = 1 - 2 \sin^2 \alpha = 1 - 2 \cdot (\frac{\sqrt{5}}{3})^2 = 1 - 2 \cdot \frac{5}{9} = 1 - \frac{10}{9} = -\frac{1}{9}$

$\tan 2\alpha = \frac{\sin 2\alpha}{\cos 2\alpha} = \frac{-\frac{4\sqrt{5}}{9}}{-\frac{1}{9}} = 4\sqrt{5}$

(2)

$\sin 15^\circ = \sin (45^\circ - 30^\circ)$

加法定理より、

$\sin (45^\circ - 30^\circ) = \sin 45^\circ \cos 30^\circ - \cos 45^\circ \sin 30^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$

3. 最終的な答え

(1)

$\sin \alpha = \frac{\sqrt{5}}{3}$

$\tan \alpha = -\frac{\sqrt{5}}{2}$

$\sin 2\alpha = -\frac{4\sqrt{5}}{9}$

$\cos 2\alpha = -\frac{1}{9}$

$\tan 2\alpha = 4\sqrt{5}$

(2)

$\sin 15^\circ = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$