以下の5つの問題について、0°≤ θ ≤ 180°の範囲で解を求める。 (1) $2\sin^2 \theta - 3\cos \theta = 0$ (2) $\sin \theta < \frac{1}{\sqrt{2}}$ (3) $\tan \theta \leq \sqrt{3}$ (4) $1 < 2\cos \theta < \sqrt{3}$ (5) $2\cos^2 \theta + \sin \theta - 2 \geq 0$

はい、承知しました。三角関数の問題ですね。0°≤ θ ≤ 180°の範囲で、与えられた各式を満たすθの値または範囲を求めます。

1. 問題の内容

以下の5つの問題について、0°≤ θ ≤ 180°の範囲で解を求める。

(1) $2\sin^2 \theta - 3\cos \theta = 0$

(2) $\sin \theta < \frac{1}{\sqrt{2}}$

(3) $\tan \theta \leq \sqrt{3}$

(4) $1 < 2\cos \theta < \sqrt{3}$

(5) $2\cos^2 \theta + \sin \theta - 2 \geq 0$

2. 解き方の手順

(1) $2\sin^2 \theta - 3\cos \theta = 0$

$\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta$ を用いて式を変形する。

$2(1 - \cos^2 \theta) - 3\cos \theta = 0$

$2 - 2\cos^2 \theta - 3\cos \theta = 0$

$2\cos^2 \theta + 3\cos \theta - 2 = 0$

$\cos \theta = x$ とおくと、$2x^2 + 3x - 2 = 0$

$(2x - 1)(x + 2) = 0$

$x = \frac{1}{2}, -2$

$\cos \theta = \frac{1}{2}$ または $\cos \theta = -2$

0°≤ θ ≤ 180°において、$\cos \theta = -2$ となるθは存在しない。

$\cos \theta = \frac{1}{2}$ となるθは $\theta = 60^\circ$

(2) $\sin \theta < \frac{1}{\sqrt{2}}$

$\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ である。

$\sin \theta = \frac{1}{\sqrt{2}}$ となるのは $\theta = 45^\circ, 135^\circ$

0°≤ θ ≤ 180°の範囲で、$\sin \theta < \frac{1}{\sqrt{2}}$ となるのは $0^\circ \leq \theta < 45^\circ$ と $135^\circ < \theta \leq 180^\circ$

(3) $\tan \theta \leq \sqrt{3}$

$\tan \theta = \sqrt{3}$ となるのは $\theta = 60^\circ$

0°≤ θ ≤ 180°の範囲で、$\tan \theta \leq \sqrt{3}$ となるのは、

$0^\circ \leq \theta \leq 60^\circ$ と $\theta = 90^\circ$を除く $90^\circ < \theta \leq 180^\circ$.

$\theta = 90^\circ$では$\tan\theta$は定義されないから、$\theta=90^\circ$の場合を除く必要はない。

(4) $1 < 2\cos \theta < \sqrt{3}$

$\frac{1}{2} < \cos \theta < \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\cos \theta = \frac{1}{2}$ となるのは $\theta = 60^\circ$

$\cos \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$ となるのは $\theta = 30^\circ$

$\frac{1}{2} < \cos \theta < \frac{\sqrt{3}}{2}$ となるのは $30^\circ < \theta < 60^\circ$

(5) $2\cos^2 \theta + \sin \theta - 2 \geq 0$

$\cos^2 \theta = 1 - \sin^2 \theta$ を用いて式を変形する。

$2(1 - \sin^2 \theta) + \sin \theta - 2 \geq 0$

$2 - 2\sin^2 \theta + \sin \theta - 2 \geq 0$

$-2\sin^2 \theta + \sin \theta \geq 0$

$2\sin^2 \theta - \sin \theta \leq 0$

$\sin \theta (2\sin \theta - 1) \leq 0$

$0 \leq \sin \theta \leq \frac{1}{2}$

$\sin \theta = 0$ となるのは $\theta = 0^\circ, 180^\circ$

$\sin \theta = \frac{1}{2}$ となるのは $\theta = 30^\circ, 150^\circ$

$0^\circ \leq \theta \leq 30^\circ$ と $150^\circ \leq \theta \leq 180^\circ$

3. 最終的な答え

(1) $\theta = 60^\circ$

(2) $0^\circ \leq \theta < 45^\circ$, $135^\circ < \theta \leq 180^\circ$

(3) $0^\circ \leq \theta \leq 60^\circ$, $90^\circ < \theta \leq 180^\circ$

(4) $30^\circ < \theta < 60^\circ$

(5) $0^\circ \leq \theta \leq 30^\circ$, $150^\circ \leq \theta \leq 180^\circ$