(1) $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$ で、$\cos\alpha = \frac{2}{3}$ のとき、$\sin 2\alpha$ と $\cos 2\alpha$ の値を求めよ。 (2) 2直線 $y = \frac{2\sqrt{2}}{3}x + \sqrt{3}$、$y = \sqrt{2}x - 4$ のなす角 $\theta$ について、$\tan\theta$ の値を求めよ。ただし、$0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ とする。

1. 問題の内容

(1) $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$ で、$\cos\alpha = \frac{2}{3}$ のとき、$\sin 2\alpha$ と $\cos 2\alpha$ の値を求めよ。

(2) 2直線 $y = \frac{2\sqrt{2}}{3}x + \sqrt{3}$、$y = \sqrt{2}x - 4$ のなす角 $\theta$ について、$\tan\theta$ の値を求めよ。ただし、$0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ とする。

2. 解き方の手順

(1)

まず、$\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$ を用いて $\sin\alpha$ を求める。$\cos\alpha = \frac{2}{3}$ であるから、

$\sin^2\alpha + (\frac{2}{3})^2 = 1$

$\sin^2\alpha = 1 - \frac{4}{9} = \frac{5}{9}$

$0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$ より、$\sin\alpha > 0$ であるから、$\sin\alpha = \frac{\sqrt{5}}{3}$。

次に、2倍角の公式 $\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha$ を用いて $\sin 2\alpha$ を計算する。

$\sin 2\alpha = 2 \times \frac{\sqrt{5}}{3} \times \frac{2}{3} = \frac{4\sqrt{5}}{9}$

最後に、2倍角の公式 $\cos 2\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha$ を用いて $\cos 2\alpha$ を計算する。

$\cos 2\alpha = (\frac{2}{3})^2 - (\frac{\sqrt{5}}{3})^2 = \frac{4}{9} - \frac{5}{9} = -\frac{1}{9}$

(2)

2直線の傾きをそれぞれ $m_1, m_2$ とする。

$m_1 = \frac{2\sqrt{2}}{3}$、 $m_2 = \sqrt{2}$。

$\tan\theta$ は以下の式で求められる。

$\tan\theta = \left| \frac{m_2 - m_1}{1 + m_1 m_2} \right|$

$\tan\theta = \left| \frac{\sqrt{2} - \frac{2\sqrt{2}}{3}}{1 + \frac{2\sqrt{2}}{3} \times \sqrt{2}} \right| = \left| \frac{\frac{\sqrt{2}}{3}}{1 + \frac{4}{3}} \right| = \left| \frac{\frac{\sqrt{2}}{3}}{\frac{7}{3}} \right| = \left| \frac{\sqrt{2}}{7} \right| = \frac{\sqrt{2}}{7}$

3. 最終的な答え

(1) $\sin 2\alpha = \frac{4\sqrt{5}}{9}$

$\cos 2\alpha = -\frac{1}{9}$

(2) $\tan\theta = \frac{\sqrt{2}}{7}$