$0 \leq \alpha < \pi$ で、$\cos 2\alpha = -\frac{1}{8}$ のとき、$\sin \alpha$, $\cos \alpha$, $\tan \alpha$ の値を求めます。

1. 問題の内容

$0 \leq \alpha < \pi$ で、$\cos 2\alpha = -\frac{1}{8}$ のとき、$\sin \alpha$, $\cos \alpha$, $\tan \alpha$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

まず、$\cos 2\alpha$ の値を半角の公式を使って$\sin \alpha$と$\cos \alpha$で表します。

半角の公式より、

$\sin^2 \alpha = \frac{1 - \cos 2\alpha}{2}$

$\cos^2 \alpha = \frac{1 + \cos 2\alpha}{2}$

$\cos 2\alpha = -\frac{1}{8}$を代入すると、

$\sin^2 \alpha = \frac{1 - (-\frac{1}{8})}{2} = \frac{1 + \frac{1}{8}}{2} = \frac{\frac{9}{8}}{2} = \frac{9}{16}$

$\cos^2 \alpha = \frac{1 + (-\frac{1}{8})}{2} = \frac{1 - \frac{1}{8}}{2} = \frac{\frac{7}{8}}{2} = \frac{7}{16}$

$0 \leq \alpha < \pi$ なので、$\sin \alpha \geq 0$です。

したがって、$\sin \alpha = \sqrt{\frac{9}{16}} = \frac{3}{4}$

また、$0 \leq \alpha < \pi$ の範囲で、$\alpha$は第一象限または第二象限の角です。

$2\alpha$ は $\cos 2\alpha = -\frac{1}{8} < 0$ より第二象限または第三象限の角です。

したがって、$\frac{\pi}{4} < \alpha < \frac{3\pi}{4}$であり、$\cos \alpha$の符号は正または負となります。

$\cos \alpha = \pm \sqrt{\frac{7}{16}} = \pm \frac{\sqrt{7}}{4}$

$\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{\frac{3}{4}}{\pm \frac{\sqrt{7}}{4}} = \pm \frac{3}{\sqrt{7}} = \pm \frac{3\sqrt{7}}{7}$

3. 最終的な答え

$\sin \alpha = \frac{3}{4}$

$\cos \alpha = \pm \frac{\sqrt{7}}{4}$

$\tan \alpha = \pm \frac{3\sqrt{7}}{7}$