$0 \le \alpha < \frac{\pi}{2}$、 $0 \le \beta \le \pi$ のとき、$\cos(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \sin\alpha$ を用いて、$\sin\alpha = \cos2\beta$ を満たす $\beta$ を $\alpha$ で表す問題です。

1. 問題の内容

$0 \le \alpha < \frac{\pi}{2}$、 $0 \le \beta \le \pi$ のとき、$\cos(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \sin\alpha$ を用いて、$\sin\alpha = \cos2\beta$ を満たす $\beta$ を $\alpha$ で表す問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた条件$\sin\alpha = \cos2\beta$を変形します。

$\cos(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \sin \alpha$ という関係式が与えられているので、$\sin\alpha$を$\cos$で書き換えます。

$\cos(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \cos2\beta$

次に、$\cos A = \cos B$ の形になったので、$A = 2n\pi \pm B$ ($n$ は整数) を用いて式を立てます。

$\frac{\pi}{2} - \alpha = 2n\pi \pm 2\beta$

$2\beta = \pm(\frac{\pi}{2} - \alpha) + 2n\pi$

$\beta = \pm \frac{1}{2}(\frac{\pi}{2} - \alpha) + n\pi$

次に、$0 \le \beta \le \pi$の条件より、$n$の値を決定し、適切な$\beta$の式を求めます。

$\beta = \frac{1}{2}(\frac{\pi}{2} - \alpha) + n\pi$の場合、

$n=0$のとき、$\beta = \frac{\pi}{4} - \frac{\alpha}{2}$

$n=-1$のとき、$\beta = \frac{\pi}{4} - \frac{\alpha}{2} - \pi = -\frac{3\pi}{4} - \frac{\alpha}{2}$。これは$0 \le \beta \le \pi$を満たさない。

$n=1$のとき、$\beta = \frac{\pi}{4} - \frac{\alpha}{2} + \pi = \frac{5\pi}{4} - \frac{\alpha}{2}$。$\alpha$は$0 \le \alpha < \frac{\pi}{2}$より$\frac{5\pi}{4} - \frac{\alpha}{2} > \pi$となる可能性があり、$0 \le \beta \le \pi$を満たさない。

$\beta = -\frac{1}{2}(\frac{\pi}{2} - \alpha) + n\pi$の場合、

$n=0$のとき、$\beta = -\frac{\pi}{4} + \frac{\alpha}{2}$。これは$0 \le \beta \le \pi$を満たさない。

$n=1$のとき、$\beta = -\frac{\pi}{4} + \frac{\alpha}{2} + \pi = \frac{3\pi}{4} + \frac{\alpha}{2}$。$\alpha$は$0 \le \alpha < \frac{\pi}{2}$より$\frac{3\pi}{4} \le \beta < \pi$となり、$0 \le \beta \le \pi$を満たす。

$n=2$のとき、$\beta = -\frac{\pi}{4} + \frac{\alpha}{2} + 2\pi = \frac{7\pi}{4} + \frac{\alpha}{2}$。これは$0 \le \beta \le \pi$を満たさない。

したがって、$\beta = \frac{\pi}{4} - \frac{\alpha}{2}$と$\beta = \frac{3\pi}{4} + \frac{\alpha}{2}$が候補となる。

$\sin\alpha = \cos2\beta$を満たす必要がある。

$\sin\alpha = \cos(2(\frac{\pi}{4} - \frac{\alpha}{2})) = \cos(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \sin\alpha$

$\sin\alpha = \cos(2(\frac{3\pi}{4} + \frac{\alpha}{2})) = \cos(\frac{3\pi}{2} + \alpha) = \sin\alpha$

したがって、$\beta = \frac{\pi}{4} - \frac{\alpha}{2}$と$\beta = \frac{3\pi}{4} + \frac{\alpha}{2}$は共に条件を満たす。

$0 \le \alpha < \frac{\pi}{2}$より、

$0 < \frac{\pi}{4} - \frac{\alpha}{2} < \frac{\pi}{4}$なので、$0 \le \beta \le \pi$を満たす。

$\frac{3\pi}{4} \le \frac{3\pi}{4} + \frac{\alpha}{2} < \pi$なので、$0 \le \beta \le \pi$を満たす。

3. 最終的な答え

$\beta = \frac{\pi}{4} - \frac{\alpha}{2}, \frac{3\pi}{4} + \frac{\alpha}{2}$