$\sin \theta \cdot \cos \theta = \frac{1}{3}$のとき、$\sin \theta + \cos \theta$の値を求める問題です。

1. 問題の内容

$\sin \theta \cdot \cos \theta = \frac{1}{3}$のとき、$\sin \theta + \cos \theta$の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$(\sin \theta + \cos \theta)^2$を展開します。

$(\sin \theta + \cos \theta)^2 = \sin^2 \theta + 2 \sin \theta \cos \theta + \cos^2 \theta$

三角関数の恒等式 $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ を用いて、式を整理します。

$(\sin \theta + \cos \theta)^2 = 1 + 2 \sin \theta \cos \theta$

$\sin \theta \cos \theta = \frac{1}{3}$を代入します。

$(\sin \theta + \cos \theta)^2 = 1 + 2 \cdot \frac{1}{3} = 1 + \frac{2}{3} = \frac{5}{3}$

したがって、$\sin \theta + \cos \theta$は、

$\sin \theta + \cos \theta = \pm \sqrt{\frac{5}{3}} = \pm \frac{\sqrt{15}}{3}$

3. 最終的な答え

$\sin \theta + \cos \theta = \pm \frac{\sqrt{15}}{3}$