$90^\circ \le \theta \le 180^\circ$のとき、$\sin \theta = \frac{2}{5}$である。このとき、$\cos \theta$と$\tan \theta$の値を求めよ。

1. 問題の内容

$90^\circ \le \theta \le 180^\circ$のとき、$\sin \theta = \frac{2}{5}$である。このとき、$\cos \theta$と$\tan \theta$の値を求めよ。

2. 解き方の手順

三角関数の相互関係を利用する。

まず、$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$より、$\cos \theta$を求める。

$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$

$\cos^2 \theta = 1 - \sin^2 \theta$

$\cos^2 \theta = 1 - (\frac{2}{5})^2$

$\cos^2 \theta = 1 - \frac{4}{25}$

$\cos^2 \theta = \frac{21}{25}$

$\cos \theta = \pm \sqrt{\frac{21}{25}}$

$\cos \theta = \pm \frac{\sqrt{21}}{5}$

$90^\circ \le \theta \le 180^\circ$のとき、$\cos \theta \le 0$なので、

$\cos \theta = - \frac{\sqrt{21}}{5}$

次に、$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$より、$\tan \theta$を求める。

$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$

$\tan \theta = \frac{\frac{2}{5}}{-\frac{\sqrt{21}}{5}}$

$\tan \theta = \frac{2}{5} \cdot (-\frac{5}{\sqrt{21}})$

$\tan \theta = -\frac{2}{\sqrt{21}}$

$\tan \theta = -\frac{2\sqrt{21}}{21}$

3. 最終的な答え

$\cos \theta = -\frac{\sqrt{21}}{5}$

$\tan \theta = -\frac{2\sqrt{21}}{21}$