$\frac{3}{2}\pi < \alpha < 2\pi$、$\cos \alpha = \frac{7}{9}$ のとき、$\cos 2\alpha$ と $\sin \frac{\alpha}{2}$ の値を求める。

1. 問題の内容

$\frac{3}{2}\pi < \alpha < 2\pi$、$\cos \alpha = \frac{7}{9}$ のとき、$\cos 2\alpha$ と $\sin \frac{\alpha}{2}$ の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、$\cos 2\alpha$ の値を求める。

倍角の公式 $\cos 2\alpha = 2\cos^2 \alpha - 1$ を用いる。

$\cos \alpha = \frac{7}{9}$ より、

$\cos 2\alpha = 2 \left( \frac{7}{9} \right)^2 - 1$

$\cos 2\alpha = 2 \cdot \frac{49}{81} - 1$

$\cos 2\alpha = \frac{98}{81} - 1$

$\cos 2\alpha = \frac{98 - 81}{81}$

$\cos 2\alpha = \frac{17}{81}$

次に、$\sin \frac{\alpha}{2}$ の値を求める。

半角の公式 $\sin^2 \frac{\alpha}{2} = \frac{1 - \cos \alpha}{2}$ を用いる。

$\frac{3}{2}\pi < \alpha < 2\pi$ であるから、$\frac{3}{4}\pi < \frac{\alpha}{2} < \pi$ となり、$\sin \frac{\alpha}{2} > 0$ である。

$\sin^2 \frac{\alpha}{2} = \frac{1 - \frac{7}{9}}{2}$

$\sin^2 \frac{\alpha}{2} = \frac{\frac{2}{9}}{2}$

$\sin^2 \frac{\alpha}{2} = \frac{1}{9}$

$\sin \frac{\alpha}{2} = \pm \sqrt{\frac{1}{9}}$

$\sin \frac{\alpha}{2} = \pm \frac{1}{3}$

$\frac{3}{4}\pi < \frac{\alpha}{2} < \pi$ より、$\sin \frac{\alpha}{2} > 0$ なので、

$\sin \frac{\alpha}{2} = \frac{1}{3}$

3. 最終的な答え

$\cos 2\alpha = \frac{17}{81}$

$\sin \frac{\alpha}{2} = \frac{1}{3}$