$\tan 165^\circ$ の値を計算する問題です。画像の計算過程は途中までで、$\frac{\sqrt{3}-1}{1+\sqrt{3}}$ まで簡略化されています。

1. 問題の内容

$\tan 165^\circ$ の値を計算する問題です。画像の計算過程は途中までで、$\frac{\sqrt{3}-1}{1+\sqrt{3}}$ まで簡略化されています。

2. 解き方の手順

まず、$165^\circ = 120^\circ + 45^\circ$ と分解し、三角関数の加法定理を利用して $\tan(120^\circ + 45^\circ)$ を計算します。

$\tan(A+B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}$ を用いると、

$\tan(120^\circ + 45^\circ) = \frac{\tan 120^\circ + \tan 45^\circ}{1 - \tan 120^\circ \tan 45^\circ}$ となります。

$\tan 120^\circ = -\sqrt{3}$、$\tan 45^\circ = 1$ を代入すると、

$\tan(120^\circ + 45^\circ) = \frac{-\sqrt{3} + 1}{1 - (-\sqrt{3})(1)} = \frac{1-\sqrt{3}}{1+\sqrt{3}}$ となります。

この式の分子と分母に $1-\sqrt{3}$ を掛けて有理化します。

$\frac{1-\sqrt{3}}{1+\sqrt{3}} = \frac{(1-\sqrt{3})(1-\sqrt{3})}{(1+\sqrt{3})(1-\sqrt{3})} = \frac{1 - 2\sqrt{3} + 3}{1 - 3} = \frac{4 - 2\sqrt{3}}{-2} = -2 + \sqrt{3} = \sqrt{3} - 2$

画像の式は加法定理の符号が誤っているため、$tan(A+B)$ではなく$tan(A-B)$の公式を使った場合の値になっている。しかし、最終的な有理化は必要です。

3. 最終的な答え

$\sqrt{3} - 2$