$\sin\theta - \cos\theta = \frac{1}{2}$ のとき、以下の値を求めよ。 (1) $\sin\theta \cos\theta$ (2) $\sin^3\theta - \cos^3\theta$

1. 問題の内容

$\sin\theta - \cos\theta = \frac{1}{2}$ のとき、以下の値を求めよ。

(1) $\sin\theta \cos\theta$

(2) $\sin^3\theta - \cos^3\theta$

2. 解き方の手順

(1) $\sin\theta - \cos\theta = \frac{1}{2}$ の両辺を2乗する。

$(\sin\theta - \cos\theta)^2 = (\frac{1}{2})^2$

$\sin^2\theta - 2\sin\theta\cos\theta + \cos^2\theta = \frac{1}{4}$

$\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ より、

$1 - 2\sin\theta\cos\theta = \frac{1}{4}$

$2\sin\theta\cos\theta = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$

$\sin\theta\cos\theta = \frac{3}{8}$

(2) $\sin^3\theta - \cos^3\theta$ を因数分解する。

$\sin^3\theta - \cos^3\theta = (\sin\theta - \cos\theta)(\sin^2\theta + \sin\theta\cos\theta + \cos^2\theta)$

$\sin^3\theta - \cos^3\theta = (\sin\theta - \cos\theta)(1 + \sin\theta\cos\theta)$

$\sin\theta - \cos\theta = \frac{1}{2}$、$\sin\theta\cos\theta = \frac{3}{8}$ を代入する。

$\sin^3\theta - \cos^3\theta = (\frac{1}{2})(1 + \frac{3}{8})$

$\sin^3\theta - \cos^3\theta = \frac{1}{2}(\frac{8}{8} + \frac{3}{8})$

$\sin^3\theta - \cos^3\theta = \frac{1}{2}(\frac{11}{8})$

$\sin^3\theta - \cos^3\theta = \frac{11}{16}$

3. 最終的な答え

(1)

$\sin\theta\cos\theta = \frac{3}{8}$

(2)

$\sin^3\theta - \cos^3\theta = \frac{11}{16}$