$0^\circ \le \theta \le 180^\circ$ の範囲で、$\tan \theta = -\sqrt{2}$ のとき、$\cos \theta$ と $\sin \theta$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

$0^\circ \le \theta \le 180^\circ$ の範囲で、$\tan \theta = -\sqrt{2}$ のとき、$\cos \theta$ と $\sin \theta$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$ であることを利用します。

$\tan \theta = -\sqrt{2}$なので、$\frac{\sin \theta}{\cos \theta} = -\sqrt{2}$。つまり $\sin \theta = -\sqrt{2} \cos \theta$となります。

次に、$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ という三角関数の基本的な関係式を利用します。

$\sin \theta = -\sqrt{2} \cos \theta$ を代入すると、$(-\sqrt{2} \cos \theta)^2 + \cos^2 \theta = 1$ となります。

これを整理すると、$2\cos^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ となり、$3\cos^2 \theta = 1$。

したがって、$\cos^2 \theta = \frac{1}{3}$ となります。

$\cos \theta = \pm \sqrt{\frac{1}{3}} = \pm \frac{1}{\sqrt{3}} = \pm \frac{\sqrt{3}}{3}$ となります。

ここで、$0^\circ \le \theta \le 180^\circ$ で、$\tan \theta = -\sqrt{2} < 0$ であることから、$\theta$ は第2象限の角であることがわかります。第2象限では $\sin \theta > 0$ であり、$\cos \theta < 0$ です。

したがって、$\cos \theta = - \frac{\sqrt{3}}{3}$ となります。

$\sin \theta = -\sqrt{2} \cos \theta$ に $\cos \theta = - \frac{\sqrt{3}}{3}$ を代入すると、$\sin \theta = -\sqrt{2} \left( - \frac{\sqrt{3}}{3} \right) = \frac{\sqrt{6}}{3}$ となります。

3. 最終的な答え

$\cos \theta = -\frac{\sqrt{3}}{3}$

$\sin \theta = \frac{\sqrt{6}}{3}$