$\tan \theta = -1$のとき、$\sin \theta$の値を求めよ。ただし、$\theta$は鈍角とする。

1. 問題の内容

$\tan \theta = -1$のとき、$\sin \theta$の値を求めよ。ただし、$\theta$は鈍角とする。

2. 解き方の手順

$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$である。また、$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$が成り立つ。

$\tan \theta = -1$なので、$\sin \theta = -\cos \theta$が成り立つ。

これを$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$に代入すると、

$(-\cos \theta)^2 + \cos^2 \theta = 1$

$\cos^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$

$2 \cos^2 \theta = 1$

$\cos^2 \theta = \frac{1}{2}$

$\cos \theta = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\theta$は鈍角なので、$90^\circ < \theta < 180^\circ$である。よって、$\cos \theta < 0$であるから、$\cos \theta = -\frac{\sqrt{2}}{2}$となる。

このとき、$\sin \theta = -\cos \theta = - (-\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$となる。

または、$1 + \tan^2 \theta = \frac{1}{\cos^2 \theta}$より、

$1 + (-1)^2 = \frac{1}{\cos^2 \theta}$

$2 = \frac{1}{\cos^2 \theta}$

$\cos^2 \theta = \frac{1}{2}$

$\cos \theta = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\theta$は鈍角なので、$\cos \theta = -\frac{\sqrt{2}}{2}$となる。

$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$より、

$\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta = 1 - (\frac{1}{2}) = \frac{1}{2}$

$\sin \theta = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\theta$は鈍角なので、$\sin \theta > 0$であるから、$\sin \theta = \frac{\sqrt{2}}{2}$となる。

3. 最終的な答え

$\sin \theta = \frac{\sqrt{2}}{2}$