(7) $\alpha$は第1象限の角、$\beta$は第3象限の角であり、$\sin\alpha = \frac{4}{5}$, $\cos\beta = -\frac{5}{13}$であるとき、$\sin(\alpha+\beta)$と$\cos(\alpha+\beta)$を求める。 (8) $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$で、$\cos\alpha = -\frac{3}{5}$のとき、$\sin2\alpha$と$\cos2\alpha$を求める。 (9) $\sqrt{3}\sin\theta + \cos\theta$を$r\sin(\theta+\alpha)$の形に変形するとき、$r$と$\alpha$を求める。ただし、$r>0$, $-\pi < \alpha < \pi$とする。

1. 問題の内容

(7) $\alpha$は第1象限の角、$\beta$は第3象限の角であり、$\sin\alpha = \frac{4}{5}$, $\cos\beta = -\frac{5}{13}$であるとき、$\sin(\alpha+\beta)$と$\cos(\alpha+\beta)$を求める。

(8) $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$で、$\cos\alpha = -\frac{3}{5}$のとき、$\sin2\alpha$と$\cos2\alpha$を求める。

(9) $\sqrt{3}\sin\theta + \cos\theta$を$r\sin(\theta+\alpha)$の形に変形するとき、$r$と$\alpha$を求める。ただし、$r>0$, $-\pi < \alpha < \pi$とする。

2. 解き方の手順

(7)

まず、$\cos\alpha$と$\sin\beta$を求める。

$\alpha$は第1象限の角なので、$\cos\alpha > 0$。

$\cos\alpha = \sqrt{1-\sin^2\alpha} = \sqrt{1 - \left(\frac{4}{5}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{16}{25}} = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5}$

$\beta$は第3象限の角なので、$\sin\beta < 0$。

$\sin\beta = -\sqrt{1-\cos^2\beta} = -\sqrt{1 - \left(-\frac{5}{13}\right)^2} = -\sqrt{1 - \frac{25}{169}} = -\sqrt{\frac{144}{169}} = -\frac{12}{13}$

$\sin(\alpha+\beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta = \frac{4}{5}\left(-\frac{5}{13}\right) + \frac{3}{5}\left(-\frac{12}{13}\right) = -\frac{20}{65} - \frac{36}{65} = -\frac{56}{65}$

$\cos(\alpha+\beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta = \frac{3}{5}\left(-\frac{5}{13}\right) - \frac{4}{5}\left(-\frac{12}{13}\right) = -\frac{15}{65} + \frac{48}{65} = \frac{33}{65}$

(8)

$\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$なので、$\sin\alpha > 0$。

$\sin\alpha = \sqrt{1-\cos^2\alpha} = \sqrt{1 - \left(-\frac{3}{5}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{9}{25}} = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}$

$\sin2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha = 2 \cdot \frac{4}{5} \cdot \left(-\frac{3}{5}\right) = -\frac{24}{25}$

$\cos2\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha = \left(-\frac{3}{5}\right)^2 - \left(\frac{4}{5}\right)^2 = \frac{9}{25} - \frac{16}{25} = -\frac{7}{25}$

(9)

$\sqrt{3}\sin\theta + \cos\theta = r\sin(\theta+\alpha) = r\sin\theta\cos\alpha + r\cos\theta\sin\alpha$

$r\cos\alpha = \sqrt{3}$, $r\sin\alpha = 1$

$r^2 = (\sqrt{3})^2 + 1^2 = 3 + 1 = 4$

$r = 2$ (ただし、$r>0$)

$\cos\alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $\sin\alpha = \frac{1}{2}$

$\alpha = \frac{\pi}{6}$ (ただし、$-\pi < \alpha < \pi$)

3. 最終的な答え

(7) $\sin(\alpha+\beta) = -\frac{56}{65}$, $\cos(\alpha+\beta) = \frac{33}{65}$

(8) $\sin2\alpha = -\frac{24}{25}$, $\cos2\alpha = -\frac{7}{25}$

(9) $r=2$, $\alpha=\frac{\pi}{6}$