$0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$ であり、$\sin \alpha = \frac{12}{13}$ のとき、$\cos 2\alpha$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

$0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$ であり、$\sin \alpha = \frac{12}{13}$ のとき、$\cos 2\alpha$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1$ の関係を使って $\cos \alpha$ の値を求めます。

$\sin \alpha = \frac{12}{13}$ なので、

$\cos^2 \alpha + (\frac{12}{13})^2 = 1$

$\cos^2 \alpha = 1 - \frac{144}{169} = \frac{169 - 144}{169} = \frac{25}{169}$

$0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$ なので $\cos \alpha > 0$ となります。

したがって、$\cos \alpha = \sqrt{\frac{25}{169}} = \frac{5}{13}$

次に、$\cos 2\alpha$ を $\sin \alpha$ と $\cos \alpha$ を用いて表します。

$\cos 2\alpha = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha$

$\cos 2\alpha = (\frac{5}{13})^2 - (\frac{12}{13})^2 = \frac{25}{169} - \frac{144}{169} = \frac{25 - 144}{169} = -\frac{119}{169}$

$\cos 2\alpha = 1 - 2\sin^2 \alpha$を用いることもできます。

$\cos 2\alpha = 1 - 2 (\frac{12}{13})^2 = 1 - 2 \times \frac{144}{169} = 1 - \frac{288}{169} = \frac{169 - 288}{169} = -\frac{119}{169}$

3. 最終的な答え

$\cos 2\alpha = -\frac{119}{169}$