$\cos{\frac{\pi}{8}} (\cos{22.5^\circ})$ の値を求めます。

1. 問題の内容

$\cos{\frac{\pi}{8}} (\cos{22.5^\circ})$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

まず、$\frac{\pi}{8}$ を度数法に変換します。$\pi$ ラジアンは $180^\circ$ なので、$\frac{\pi}{8}$ ラジアンは $\frac{180^\circ}{8} = 22.5^\circ$ です。

したがって、求める値は $\cos{22.5^\circ} \cdot \cos{22.5^\circ} = (\cos{22.5^\circ})^2$ となります。

次に、半角の公式を利用して $\cos{22.5^\circ}$ を求めます。半角の公式は以下の通りです。

$\cos^2{\frac{\theta}{2}} = \frac{1 + \cos{\theta}}{2}$

$\theta = 45^\circ$ とすると、$\frac{\theta}{2} = 22.5^\circ$ となり、

$\cos^2{22.5^\circ} = \frac{1 + \cos{45^\circ}}{2}$

$\cos{45^\circ} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ なので、

$\cos^2{22.5^\circ} = \frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2} = \frac{2 + \sqrt{2}}{4}$

求める値は $(\cos{22.5^\circ})^2$ なので、これは $\cos^2{22.5^\circ}$ に等しく、

$(\cos{22.5^\circ})^2 = \frac{2 + \sqrt{2}}{4}$

3. 最終的な答え

$\frac{2 + \sqrt{2}}{4}$