3次方程式 $x^3 + ax^2 + 2x + b = 0$ が $2$ と $-4$ を解に持つとき、定数 $a, b$ の値と他の解を求める。

1. 問題の内容

3次方程式 $x^3 + ax^2 + 2x + b = 0$ が $2$ と $-4$ を解に持つとき、定数 $a, b$ の値と他の解を求める。

2. 解き方の手順

$x=2$ を代入すると、

$2^3 + a(2^2) + 2(2) + b = 0$

$8 + 4a + 4 + b = 0$

$4a + b = -12$ ...(1)

$x=-4$ を代入すると、

$(-4)^3 + a(-4)^2 + 2(-4) + b = 0$

$-64 + 16a - 8 + b = 0$

$16a + b = 72$ ...(2)

(2) - (1) より、

$12a = 84$

$a = 7$

(1) に $a=7$ を代入すると、

$4(7) + b = -12$

$28 + b = -12$

$b = -40$

したがって、$a=7, b=-40$ である。

3次方程式は $x^3 + 7x^2 + 2x - 40 = 0$ となる。

$x=2$ と $x=-4$ が解なので、$(x-2)(x+4)$ で割り切れる。

$(x-2)(x+4) = x^2 + 2x - 8$ であるから、$x^3 + 7x^2 + 2x - 40$ を $x^2 + 2x - 8$ で割ると、

```

x + 5

x^2+2x-8 | x^3 + 7x^2 + 2x - 40

x^3 + 2x^2 - 8x

------------------

5x^2 + 10x - 40

5x^2 + 10x - 40

------------------

0

```

$x^3 + 7x^2 + 2x - 40 = (x^2 + 2x - 8)(x+5) = (x-2)(x+4)(x+5)=0$

したがって、他の解は $x=-5$ である。

3. 最終的な答え

$a = 7$

$b = -40$

他の解 = $-5$