整式 $P(x)$ を $x-2$ で割ると余りが $8$ であり、$x+5$ で割ると余りが $-13$ である。$P(x)$ を $(x-2)(x+5)$ で割ったときの余りを求めよ。

1. 問題の内容

整式 $P(x)$ を $x-2$ で割ると余りが $8$ であり、$x+5$ で割ると余りが $-13$ である。$P(x)$ を $(x-2)(x+5)$ で割ったときの余りを求めよ。

2. 解き方の手順

$P(x)$ を $(x-2)(x+5)$ で割った時の余りを $ax + b$ とおく。このとき、ある整式 $Q(x)$ を用いて、

$$P(x) = (x-2)(x+5)Q(x) + ax + b$$

と表せる。

$P(x)$ を $x-2$ で割った余りが $8$ であるから、$P(2) = 8$ である。

$P(x)$ を $x+5$ で割った余りが $-13$ であるから、$P(-5) = -13$ である。

上記の式にそれぞれ $x=2$ と $x=-5$ を代入すると、

$$P(2) = (2-2)(2+5)Q(2) + 2a + b = 2a + b = 8$$

$$P(-5) = (-5-2)(-5+5)Q(-5) -5a + b = -5a + b = -13$$

この $a, b$ に関する連立方程式を解く。

$$2a + b = 8$$

$$-5a + b = -13$$

上の式から下の式を引くと、

$$(2a + b) - (-5a + b) = 8 - (-13)$$

$$7a = 21$$

$$a = 3$$

$a = 3$ を $2a + b = 8$ に代入すると、

$$2(3) + b = 8$$

$$6 + b = 8$$

$$b = 2$$

したがって、求める余りは $3x + 2$ である。

3. 最終的な答え

$3x + 2$