問題2: $(a+bi)(c+di)=0 \Leftrightarrow a=b=0$ または $c=d=0$ を証明する。 問題3: 次の複素数の絶対値 $r$ と偏角 $\theta$ ($-\pi < \theta \le \pi$)を求め、極形式で表す。 (1) $2-2i$ (2) $-4\sqrt{3}-4i$ (3) $-3i$ (4) $5$

1. 問題の内容

問題2: $(a+bi)(c+di)=0 \Leftrightarrow a=b=0$ または $c=d=0$ を証明する。

問題3: 次の複素数の絶対値 $r$ と偏角 $\theta$ ($-\pi < \theta \le \pi$)を求め、極形式で表す。

(1) $2-2i$

(2) $-4\sqrt{3}-4i$

(3) $-3i$

(4) $5$

2. 解き方の手順

問題2:

$(a+bi)(c+di) = (ac-bd) + (ad+bc)i = 0$

これは $ac-bd=0$ かつ $ad+bc=0$ を意味する。

$a=b=0$ならば、式は明らかに成り立つ。同様に、$c=d=0$ならば式は成り立つ。

したがって、$\Leftarrow$ は証明された。

次に、$\Rightarrow$を証明する。

$ac - bd = 0$ より $ac = bd$

$ad + bc = 0$ より $ad = -bc$

両辺を2乗して

$(ac)^2 = (bd)^2$

$(ad)^2 = (bc)^2$

$(ac)^2 + (ad)^2 = (bd)^2 + (bc)^2$

$a^2(c^2 + d^2) = b^2(c^2 + d^2)$

$(a^2 - b^2)(c^2 + d^2) = 0$

よって、$a^2 = b^2$ または $c^2 + d^2 = 0$

$c^2 + d^2 = 0$ ならば、$c=d=0$

$a^2 = b^2$ ならば、$a = b$または$a = -b$

$ad = -bc$に代入して、$ad = -ac$あるいは$ad = ac$

$a = 0$のとき、$ac = bd = 0$より、$b = 0$

$a \neq 0$のとき、$d = -c$あるいは$d = c$

この結果を$ac=bd$に代入すると、$ac = -bc$あるいは$ac = bc$

$c \neq 0$のとき、$a = -b$あるいは$a = b$

$c = 0$のとき、$d = 0$

しかし、簡単な反例として、$1 + i$と$1 - i$の積は2になるため、上記の手順は正しくない。

正しい証明:

$(a+bi)(c+di) = 0$ より、$ac-bd + (ad+bc)i = 0$であるから、$ac-bd=0$ かつ $ad+bc=0$。

$a=b=0$または$c=d=0$ならば、$(a+bi)(c+di) = 0$は明らか。

逆に、$(a+bi)(c+di) = 0$とすると、

$ac-bd = 0$かつ$ad+bc = 0$が成り立つ。

$a=0$のとき、$bd=0$かつ$bc=0$。$b\neq 0$ならば$c=d=0$。$b=0$ならば$a=b=0$。

$a\neq 0$のとき、$c=\frac{bd}{a}$。$ad+\frac{b^2d}{a}=0$より、$ad(a^2+b^2)=0$。

$d=0$ならば$c=0$。$d\neq 0$ならば$a^2+b^2=0$より、$a=b=0$

問題3:

複素数 $z=x+yi$ の絶対値 $r = \sqrt{x^2 + y^2}$、偏角 $\theta = \arctan(\frac{y}{x})$

(1) $z = 2 - 2i$

$r = \sqrt{2^2 + (-2)^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$

$\theta = \arctan(\frac{-2}{2}) = \arctan(-1) = -\frac{\pi}{4}$

$z = 2\sqrt{2}(\cos(-\frac{\pi}{4}) + i\sin(-\frac{\pi}{4}))$

(2) $z = -4\sqrt{3} - 4i$

$r = \sqrt{(-4\sqrt{3})^2 + (-4)^2} = \sqrt{48 + 16} = \sqrt{64} = 8$

$\theta = \arctan(\frac{-4}{-4\sqrt{3}}) = \arctan(\frac{1}{\sqrt{3}}) = \arctan(\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{\pi}{6}$

しかし、$x$と$y$は両方とも負であるため、第3象限にある。したがって、$\theta = \frac{\pi}{6}-\pi = -\frac{5\pi}{6}$

$z = 8(\cos(-\frac{5\pi}{6}) + i\sin(-\frac{5\pi}{6}))$

(3) $z = -3i$

$r = \sqrt{0^2 + (-3)^2} = \sqrt{9} = 3$

$\theta = \arctan(\frac{-3}{0})$。これは定義できないため、$x=0$の場合を考慮する必要がある。

$z = -3i$ は負の虚軸上にあるため、$\theta = -\frac{\pi}{2}$

$z = 3(\cos(-\frac{\pi}{2}) + i\sin(-\frac{\pi}{2}))$

(4) $z = 5$

$r = \sqrt{5^2 + 0^2} = 5$

$\theta = \arctan(\frac{0}{5}) = \arctan(0) = 0$

$z = 5(\cos(0) + i\sin(0))$

3. 最終的な答え

問題2:

$(a+bi)(c+di)=0 \Leftrightarrow a=b=0$ または $c=d=0$

問題3:

(1) $2\sqrt{2}(\cos(-\frac{\pi}{4}) + i\sin(-\frac{\pi}{4}))$

(2) $8(\cos(-\frac{5\pi}{6}) + i\sin(-\frac{5\pi}{6}))$

(3) $3(\cos(-\frac{\pi}{2}) + i\sin(-\frac{\pi}{2}))$

(4) $5(\cos(0) + i\sin(0))$