2次方程式 $x^2 - 2x + 4 = 0$ の2つの解を $\alpha, \beta$ とするとき、次の式の値を求める。 (1) $\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta}$ (2) $\alpha^2\beta + \alpha\beta^2$ (3) $\alpha^3 + \beta^3$

1. 問題の内容

2次方程式 $x^2 - 2x + 4 = 0$ の2つの解を $\alpha, \beta$ とするとき、次の式の値を求める。

(1) $\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta}$

(2) $\alpha^2\beta + \alpha\beta^2$

(3) $\alpha^3 + \beta^3$

2. 解き方の手順

まず、解と係数の関係より、

$\alpha + \beta = 2$

$\alpha\beta = 4$

(1) $\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} = \frac{\alpha + \beta}{\alpha\beta} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

(2) $\alpha^2\beta + \alpha\beta^2 = \alpha\beta(\alpha + \beta) = 4 \cdot 2 = 8$

(3) $\alpha^3 + \beta^3 = (\alpha + \beta)(\alpha^2 - \alpha\beta + \beta^2) = (\alpha + \beta)((\alpha + \beta)^2 - 3\alpha\beta) = 2(2^2 - 3 \cdot 4) = 2(4 - 12) = 2(-8) = -16$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{1}{2}$

(2) $8$

(3) $-16$